小数在计算机中如何存储？

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-01-02 02:23 258阅读 0赞

## 1、浮点数的表示格式 ##

### 1.1、十进制格式 ###

0.00172=1.72\*10^-3，1.72为系数（或尾数），10^-3为指数，10为指数的基数，-3位为指数的阶数。科学计数法表示为1.72E-3，由于1<=1.72<10，因此称系数是规格化的。

### 1.2、二进制格式 ###

比如19.625，整数部分19的二进制为10011，而小数部分0.625的二进制为101，则总体表示为10011.101，科学计数法表示为1.0011101\*2^4

因为小数点后第一位为2^-1，小数点后第二位为2^-2，依次类推。那么0.625=0.5\*1+0.25\*0+0.125\*1=101。

## 2、浮点数的存储 ##

IEEE 标准754将浮点数的存储分三个部分：

*  符号位
 *  指数位
 *  有效数字(系数位)

单精度浮点数32位=1位符号位+8位指数位+23位有效数字

双精度浮点数64位=1位符号位+11位指数位+52位有效数字

下面以单精度浮点数为例（双精度同理），来看看计算机是如何存储的。

*  符号位：1表示负值，0表示正值；
 *  指数位：阶数的二进制码，是一个无符号的整数，但是阶数既可以是正数也可以是负数，那么就需要有一个偏移量（单精度偏移量为127，双精度偏移量为1023），则真正的阶数=移码指数-偏移量。指数位的范围为0~255，但不包括0和255，因为它俩有特殊含意（这个下面会讲到），因此单精度浮点数可表示的最大阶数为127=254-127，最小阶数为-126=1-127；
 *  有效数字：任何一个二进制的科学计数法（规格化）的系数第一位都是1，因此这个1没有必要存储，有效数字存储的都是小数点后23位，因此23位有效数字可表示的精度却是24位；

### **2.1、指数0和255的特殊用途？** ###

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th style="width:336px;">符号位s</th> 
   <th style="width:285px;">指数位e</th> 
   <th style="width:304px;">有效数位m</th> 
   <th style="width:392px;">浮点数</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="width:336px;">0、1</td> 
   <td style="width:285px;">0</td> 
   <td style="width:304px;">0</td> 
   <td style="width:392px;">0</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:336px;">0、1</td> 
   <td style="width:285px;">0</td> 
   <td style="width:304px;">！=0</td> 
   <td style="width:392px;">0.0f</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:336px;">0</td> 
   <td style="width:285px;">255</td> 
   <td style="width:304px;">0</td> 
   <td style="width:392px;">无穷大</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:336px;">1</td> 
   <td style="width:285px;">255</td> 
   <td style="width:304px;">0</td> 
   <td style="width:392px;">无穷小</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:336px;">0、1</td> 
   <td style="width:285px;">255</td> 
   <td style="width:304px;">！=0</td> 
   <td style="width:392px;">NAN</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 2.1、单精度的最大最小值？ ###

注意：最小值不考虑符号，即系数+指数能表示的最小值；

首先，用Java代码打印出单精度的最大值和最小值。

// 3.4028235E38
    System.out.println(Float.MAX_VALUE);
    // 不受限制的最小值，1.4E-45
    System.out.println(Float.MIN_VALUE);
    // 规格化的最小值，1.17549435E-38
    System.out.println(Float.MIN_NORMAL);

如何求出最大值？

*  使系数的23位全为1，则系数为2-(1/2^23)，约等于2，指数最大为127，则单精度最大值为约等于2\*2^127=2^128，即可得出。

如何求出规格化的最小值？

*  规格化的意思是，系数的前面必须有个1。那么使系数全为0，则系数为1，指数最小为-126，则规格化的单精度最小值为2^-126，即可得出。

如何求出不受限制的最小值？

*  如果不受限制，即不是规格化的，则系数最小可表示2^-23，指数最小为-126，则不受限制的单精度最小值为2^-23\*2^-126=2^-149，即可得出。

### 2.2、计算机为什么会出现精度丢失问题？ ###

精度丢失的原因如下：

*  小数的二进制无法精确地表示，但是整数可以
 *  单精度和双精度类型混合使用

// 0.8999999999999999
    System.out.println(2-1.1);

如上面代码所示，用Java打印出2-1.1的结果，然后结果却不是0.9，这是因为0.9的二进制计算机无法表示，下面来做一下演示。

0.9 \* 2                                                                1(结果是1.8，取整数部分1)