2022年考研计算机组成原理_2 数据表示和运算

约定不等于承诺〃 2022-12-31 05:26 201阅读 0赞

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### 文章目录 ###

*  2. 数据表示和运算
 *   *  2.1 数据与编码
     *   *  2.1.1 进制转换
         *  2.1.2 校验码
     *  2.2 定点数的表示和运算
     *   *  2.2.1 表示
         *   *  一. 有符号数
             *   *  1) 原码表示法
                 *  2) 补码表示法
                 *  3) 反码表示法
                 *  三种机器数的小结
             *  二. 数的定点表示和浮点表示
             *   *  定点表示
                 *  浮点表示
                 *  浮点数的存储格式
                 *  移码
                 *  浮点数的规格化
                 *   *  单精度浮点数真值
                     *  双精度浮点数真值
         *  2.2.2 加法运算
         *  2.2.3 补码加减运算
         *  2.2.4 定点数的乘除运算
         *   *  一. 原码乘法
             *   *  1. 题目
                 *  2) 步骤一
                 *  3) 步骤二
                 *  4) 步骤三
                 *  5) 步骤四
             *  二. 补位乘法介绍
             *   *  1) 题目
                 *  2) 步骤一
                 *  3) 步骤二
                 *  4) 步骤三
                 *  5) 步骤四
                 *  题目
                 *  解答过程
             *  区别
             *  三. 除法
         *  2.2.5 溢出概念的判别方法
     *  2.3 浮点数的表示和运算
     *   *  2.3.1 表示
         *  2.3.2 浮点数的加减运算
     *  2.4 ALU

# 2. 数据表示和运算 #

![4e2ee1d5e50c5fbd0d35b78d9f5a76bc.png][]

\[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vA4PJ51Z-1609146095500)(picture/20190109141301451.png)\]

## 2.1 数据与编码 ##

### 2.1.1 进制转换 ###

### 2.1.2 校验码 ###

## 2.2 定点数的表示和运算 ##

### 2.2.1 表示 ###

*  **寄存器的位数反映无符号数的表示范围**

![在这里插入图片描述][964ae223f29d9a882a4980e9bb11e523.png]

#### 一. 有符号数 ####

*  真值：带符号的数
 *  机器数：符号数字化的数

![在这里插入图片描述][ce3c8c90b58ca07bf8abcce747de4b33.png]

> *没有专门的硬件用于存储小数点，其都是以约定俗成的方式存在*

##### 1) 原码表示法 #####

*  整数定义
    
    ![在这里插入图片描述][3f6a804a18a69bb352496ab4c52eb4f7.png]
 *  小数定义
    
    ![在这里插入图片描述][f4c003ec55bb91f5f745cd123dd72d8a.png]

> *正数的原码符号位为0；数值位为其真值*  
> *负数的原码符号位为1；数值位为其真值*

*  原码的特点
    
    1.  简单直观
    2.  但是用原码做加法时，会出现以下问题：

![在这里插入图片描述][e14f9498e0cc26972bc89baff9720b2e.png]

##### 2) 补码表示法 #####

*  整数定义

![在这里插入图片描述][ebbab41686b37b322c5fb26ffc51b334.png]

*  小数定义
    
    ![在这里插入图片描述][0086ab320f6342c61aa1cad77108b73d.png]

> *正数的补码符号位为0；数值位为其真值*  
> *负数的补码符号位为1；数值位为其真值对应位求反后末位加1*

##### 3) 反码表示法 #####

*  整数定义

![在这里插入图片描述][a89904326a0d4363a911353a3672fd04.png]

*  小数定义
    
    ![在这里插入图片描述][b9582bfa22bdce5c8f0e6526f0f6c0c5.png]

> *正数的补码符号位为0；数值位为其真值*  
> *负数的补码符号位为1；数值位为其真值对应位求反*

##### 三种机器数的小结 #####

*  **最高位**为**符号位**，书写上~~用“，”（整数）~~或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开
 *  对于**正数**，**原码=补码=反码**
 *  对于**负数**，**符号位为1**，其**数值部分**原码除符号位外每位按位取反末尾加1→补码 不加一→反码
 *  表示范围
    
    ![在这里插入图片描述][7a695abb4e9bd72ee9d15baf3cb707ff.png]

> *tips：\[y\]补 连同符号在内，每位取反，末位加1，即得\[-y\]补*

--------------------

#### 二. 数的定点表示和浮点表示 ####

##### 定点表示 #####

*  定义：小数点按约定方式标出

![在这里插入图片描述][90903067fb063921569533bd76ab96da.png]

##### 浮点表示 #####

*  浮点数的一般形式：N=S×r的j次方

> *在计算机中，S是小数、可正可负；j是整数、可正可负*

![在这里插入图片描述][61f3b74c6777188e17dc180c06276184.png]

*  表示范围
    
    ![在这里插入图片描述][0580c62a2826347e6ca331c95a26cb87.png]

##### 浮点数的存储格式 #####

浮点数（Floating-point Number）是对实数的一种近似表示，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次幂得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数。表示方法类似于基数为10的科学计数法。利用浮点进行运算，称为浮点计算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

计算机对浮点数的表示规范遵循电气和电子工程师协会（IEEE）推出的 IEEE754 标准，浮点数在 C/C++ 中对应 float 和 double 类型，我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。

IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号，用 8 位表示指数，用 23 位表示尾数，即小数部分。对于 double 双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数，其中指数域称为阶码。IEEE754 浮点数的格式如下图所示。  
![这里写图片描述][22f48771f456f99e43bf4478a8a2a49a.png]  
**注意**，IEE754 规定浮点数阶码 E 采用"**指数ｅ的移码-1**"来表示，请记住这一点。为什么指数移码要减去 1，这是 IEEE754 对阶码的特殊要求，以满足特殊情况，比如对正无穷的表示。

##### 移码 #####

移码（又叫增码）是对真值补码的符号位取反，一般用作浮点数的阶码，引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

对于定点整数，计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为 0，反码和补码等同于原码。负整数符号位为1，原码、反码和补码的表示都不相同，由原码变成反码和补码有如下规则：  
（1）原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；  
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

比如，以一个字节 8bits 来表示 -3，那么\[ − 3 \] 原 = 10000011 \[-3\]\_原=10000011\[−3\]原=10000011，\[ − 3 \] 反 = 11111100 \[-3\]\_反=11111100\[−3\]反=11111100，\[ − 3 \] 补 = 11111101 \[-3\]\_补=11111101\[−3\]补=11111101，那么 -3 的移码就是\[ − 3 \] 移 = 01111101 \[-3\]\_移=01111101\[−3\]移=01111101。

如何将移码转换为真值 -3 呢？先将移码转换为补码，再求值。

##### 浮点数的规格化 #####

若不对浮点数的表示作出明确的规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如( 1.75 ) 10 (1.75)\_\{10\}(1.75)10可以表示成1.11 × 2 0 1.11\\times 2^01.11×20，0.111 × 2 1 0.111\\times2^10.111×21，0.0111 × 2 2 0.0111\\times2^20.0111×22等多种形式。当尾数不为0时，**尾数域的最高有效位为1**，这称为浮点数的规格化。否则，以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其成为规格化数的形式。

###### 单精度浮点数真值 ######

IEEE754 标准中，一个规格化的 32 位浮点数 x 的真值表示为：  
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)S\\times(1.M)\\times2ex=(−1)S×(1.M)×2e  
e = E − 127 e=E-127e=E−127  
其中尾数域值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1，故这一位不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。

在计算指数 e 时，对阶码E的计算采用原码的计算方式，因此 32 位浮点数的 8bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当E为全 0 或者全 1 时，是 IEEE754 规定的特殊情况，下文会另外说明。

###### 双精度浮点数真值 ######

64 位的浮点数中符号为 1 位，阶码域为 11 位，尾数域为 52 位，指数偏移值是 1023。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是：  
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)S\\times(1.M)\\times2ex=(−1)S×(1.M)×2e  
e = E − 1023 e=E-1023e=E−1023

*  float单精度浮点数（4个字节，32位）在机器中表示：用1位表示数字的符号（正负号），8位表示指数，23位表示尾数（即小数部分）
 *  double双精度浮点数（8个字节，64位）：1位表示符号（正负号），11位表示指数，52位表示尾数

[![By CodeSheep][]][By CodeSheep 1]

浮点数**阶码E**用\*\*“指数e的移码-1”**表示，还可以用**阶码E的移码（特殊的移码）+阶码E的真值（即指数）\*\*表示。

阶码的移码：假设阶码用8个二进制位表示，则该阶码的移码为 2(n-1) ，但注意这里的**移码是特殊的移码，仅偏移2(n-1)-1=127** 。

### 2.2.2 加法运算 ###

### 2.2.3 补码加减运算 ###

### 2.2.4 定点数的乘除运算 ###

#### 一. 原码乘法 ####

*  符号位与数值位分开求，乘积符号由两个数的符号位“异或”形成，而乘积的数值部分则是两个数的绝对值相乘之和。

##### 1. 题目 #####

![在这里插入图片描述][8dcbcb064e7f703440cddddac2a82bb6.png]

##### 2) 步骤一 #####

*  被乘数 x 和乘数 y 均取绝对值参加运算
 *  符号位为$ x\_s ⊕ y\_s $

![在这里插入图片描述][fe1d17428b3690dbfdfbd4dfb7d56e65.png]

##### 3) 步骤二 #####

*  累加寄存器（ACC）取 n+1 位（包含一位符号位，以便右移，故最终结果中ACC的第一位是符号位），初始化为0
 *  乘商寄存器（MQ）取 n 位（不含符号位），初始化为 |y| 的数值部分

![在这里插入图片描述][454dbb8a171bd9e0c50d0aa663ea8ba1.png]

##### 4) 步骤三 #####

*  从乘数的最低位开始判断，若 =1，则部分积加上被乘数|x|，然后右移一位；若=0，则部分积加上0，然后右移一位，由于是无符号数，故移位采用逻辑右移
 *  重复以上步骤，判断N次。

![在这里插入图片描述][53cfcab88b6f6d360171dff75ac1dab1.png]

##### 5) 步骤四 #####

*  ACC中的第25位和MQ中的第14位为乘积的数值部分

由步骤1可知，符号为 -，故乘积为 -0.10001111

#### 二. 补位乘法介绍 ####

##### 1) 题目 #####

![在这里插入图片描述][d5833e01a5364747c1b6ff6224259764.png]

##### 2) 步骤一 #####

*  符号位参与运算，运算的数均以补码表示，被乘数 x 取双符号位，乘数 y 取单符号位
 *  计算被乘数 x 的负数的补码

![在这里插入图片描述][30669d1c3665668da1d8fbcb227feb5d.png]

##### 3) 步骤二 #####

*  累加寄存器（ACC）取 n+2 位（取双符号位，以便进行溢出检查，故最终结果中ACC的前两位是符号位），对应 \[x\]补 和 \[-x\]补 ，初始化为0
 *  乘商寄存器（MQ）初始化为 \[y\]补（取单符号位），末尾增设附加位（数值为0），共n+2位

![在这里插入图片描述][091aa07ee669b26f2000c4285fbca2e6.png]

##### 4) 步骤三 #####

*  根据y的次低位和最低位的取值确定操作（如下表），由于是有符号数，故移位采用补码的算术右移
 *  重复上述步骤，判断N+1次，但第N+1次不再移位（共进行N+1次累加和N次右移）

![在这里插入图片描述][b03d8ce46798e6ddb5c814003132cc86.png]

![在这里插入图片描述][5304ab590c58cb8102b69c76a6008609.png]

##### 5) 步骤四 #####

ACC和MQ的前10位为乘积（前2位为符号），故|X*Y|补=11.01110001，X*Y=-0.10001111

##### 题目 #####

设 机 器 字 长 为 5 ， x = − 0.1101 , y = 0.1011 , 采 用 b o o t h 移 位 原 则 求 x ⋅ y 解 答 \[ x \] 补 = 11.0011 ， \[ − x \] 补 = 00.1101 ， \[ y \] 补 = 0.1011 乘 数 0.1011 , y 4 为 低 部 分 积 最 后 一 位 ， y 5 为 丢 失 位 第 一 位 设机器字长为5，x=-0.1101,y=0.1011 ,采用booth 移位原则求x\\cdot y\\\\ 解答\[x\]\_补=11.0011，\[-x\]\_补=00.1101，\[y\]\_补=0.1011\\\\ 乘数0.1011 ,y\_4为低部分积最后一位，y\_5为丢失位第一位 设机器字长为5，x=−0.1101,y=0.1011,采用booth移位原则求x⋅y解答\[x\]补=11.0011，\[−x\]补=00.1101，\[y\]补=0.1011乘数0.1011,y4为低部分积最后一位，y5为丢失位第一位

##### 解答过程 #####

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>情况说明</th> 
 <th>操作</th> 
 <th>高部分积</th> 
 <th>低部分积(最后一位为y_n)</th> 
 <th>丢失位(第一位为y_n+1)</th> 
 <th></th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> 初 始 值 为 0 初始值为0 初始值为0</td> 
 <td></td> 
 <td> 00.0000 00.0000 00.0000</td> 
 <td> 0.101 1 0.101\textcolor{red}1 0.1011</td> 
 <td> 0 \textcolor{red}0 0</td> 
 <td> y 4 = 1. y 5 = 0 , 加 [ − x ] 补 , 右 移 y_4=1.y_5=0,加[-x]_补,右移 y4=1.y5=0,加[−x]补,右移</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 加 [ − x ] 补 加[-x]_补 加[−x]补</td> 
 <td> 00.0000 + 00.1101 00.0000\\ +\\00.1101 00.0000+00.1101</td> 
 <td> = 00.1101 =00.1101 =00.1101 加法后的结果</td> 
 <td> 0.1011 0.1011 0.1011</td> 
 <td> 0 0 0</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 右 移 右移 右移</td> 
 <td></td> 
 <td> 00.0110 00.0110 00.0110</td> 
 <td> 10.10 1 10.10\textcolor{red}1 10.101 右移了</td> 
 <td> 1 0 \textcolor{red}10 10 右移</td> 
 <td> y 4 = 1 , y 5 = 1 , 右 移 y_4=1,y_5=1,右移 y4=1,y5=1,右移</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 右 移 右移 右移</td> 
 <td></td> 
 <td> 00.0011 00.0011 00.0011</td> 
 <td> 010.1 0 010.1\textcolor{red}0 010.10 右移</td> 
 <td> 1 10 \textcolor{red}110 110 右移了，</td> 
 <td> y 4 = 0 , y 5 = 1 , 加 [ x ] 补 ， 右 移 y_4=0,y_5=1,加[x]_补，右移 y4=0,y5=1,加[x]补，右移</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 加 [ x ] 补 加[x]_补 加[x]补</td> 
 <td> 00.0011 + 11.0011 00.0011\\ +\\11.0011 00.0011+11.0011</td> 
 <td> = 11.0110 =11.0110 =11.0110 加法后的结果</td> 
 <td> 010.10 010.10 010.10</td> 
 <td> 110 110 110</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>右移</td> 
 <td></td> 
 <td> 11.1011 11.1011 11.1011</td> 
 <td> 0010. 1 0010.\textcolor{red}1 0010.1</td> 
 <td> 0 110 \textcolor{red}0110 0110 右移了</td> 
 <td> y 4 = 1 , y 5 = 0 。 加 [ − x ] 补 ， 右 移 y_4=1,y_5=0。加[-x]_补，右移 y4=1,y5=0。加[−x]补，右移</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 加 [ − x ] 补 加[-x]_补 加[−x]补</td> 
 <td> 11.1011 + 00.1101 11.1011\\ +\\ 00.1101 11.1011+00.1101</td> 
 <td> 00.1000 00.1000 00.1000</td> 
 <td> 0010.1 0010.1 0010.1</td> 
 <td> 0110 0110 0110</td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

#### 区别 ####

![08a70323ac4d00ad303fe259f05f56aa.png][]

#### 三. 除法 ####

![67abbc503133465ea6e230bfa501f4f3.png][]

![46b61e0f6678bad413b78a25640e322b.png][]

### 2.2.5 溢出概念的判别方法 ###

## 2.3 浮点数的表示和运算 ##

### 2.3.1 表示 ###

### 2.3.2 浮点数的加减运算 ###

## 2.4 ALU ##

[4e2ee1d5e50c5fbd0d35b78d9f5a76bc.png]: /images/20221120/26fcaea4f7ca489aabdf72b243fb19bc.png
[964ae223f29d9a882a4980e9bb11e523.png]: /images/20221120/ca64e77e6bd242709e76fa3c2bdb567b.png
[ce3c8c90b58ca07bf8abcce747de4b33.png]: /images/20221120/614bc3f1a57e4eac809e623da4f9ba82.png
[3f6a804a18a69bb352496ab4c52eb4f7.png]: /images/20221120/53e8e466c3fe4810961e0a4fe3e98a95.png
[f4c003ec55bb91f5f745cd123dd72d8a.png]: /images/20221120/8b263e0961484367aa3b2ceb6cf2c346.png
[e14f9498e0cc26972bc89baff9720b2e.png]: /images/20221120/e2df3ff5972b4c128f79c2db8431c929.png
[ebbab41686b37b322c5fb26ffc51b334.png]: /images/20221120/1e301cd397424e0b8ce3697823900c1a.png
[0086ab320f6342c61aa1cad77108b73d.png]: /images/20221120/5dfd5e91687f45d798e8c8a4210edce5.png
[a89904326a0d4363a911353a3672fd04.png]: /images/20221120/fa724c1865dd43149a092a724a0a90b7.png
[b9582bfa22bdce5c8f0e6526f0f6c0c5.png]: /images/20221120/3b09bb6739084c96a74c9c70e1a75eb0.png
[7a695abb4e9bd72ee9d15baf3cb707ff.png]: /images/20221120/27d8cc0688d4439fa88b2c9d5340ed2b.png
[90903067fb063921569533bd76ab96da.png]: /images/20221120/2b6479c0fedd4c23a710d85d51a1b714.png
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