计算机如何做加法？

电玩女神 2022-12-29 04:59 110阅读 0赞

# 半加器与全加器 #

门电路是计算机硬件层面最基础的设计单元，计算机要想实现加法运算，也要利用这些门电路。

![门电路][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

我们在做十进制的加法时，是逢十进一，同样的，在二进制的加法中，就是逢二进一。从下表中可以看出，两个 1 bit 位的二进制数相加的和等于这两个数做「异或」操作的结果，而产生的进位则等于这两个数做「与」操作的结果。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

根据上述特点，可以很容易设计出下面这种电路，实现两个 1 bit 位的二进制数的加法。我们将这种电路称之为半加器。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

为什么叫半加器呢？因为这个电路只能计算两个 1 bit 位的二进制数的加法，一旦加数的位数变多了，半加器就用不了了。不过不用担心，两个半加器与一个或门组合，便可得到一个全加器，如下图所示。全加器能接收三个输入，分别是两个 1 bit 位的加数和一个进位信号，输出一个和以及一个进位，输出的这个进位可以作为下一个全加器的输入。虽然一个全加器也只能计算 1 bit 位的加法，但是，8 个全加器串联起来就可以实现两个 8 bit 位数的加法了，最后一个全加器的进位输出信号还可以作为是否溢出的标志位。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

所以说，我们在做整数相加的运算时，判断结果是否溢出是得到了计算机硬件层面的支持的。

但是这样实现的全加器也有缺点，就是计算后一位的结果需要依赖前一位的输出，每一个全加器要从右往左依次进行运算，最左边的那个全加器要等他右边的全加器都计算完成后再进行计算。要知道，门电路工作是有时延的，专业术语叫做「门延迟」（Gate Delay），如果把门延迟的时间记为 T，那一个全加器计算进位就需要经历 3T，如果是 8 位的加法器，最高位的计算需要等待前面 7 个全加器的进位结果，也就是需要等待 21T 的门延迟。为了提高计算效率，查尔斯·巴贝奇等人设计了超前进位加法器，一定程度上解决了这个问题，现代 CPU 中普遍使用的都是超前进位加法器。

# 超前进位加法器 #

要想理解 CLA（Carry-Lookahead Adder，超前进位加法器）的原理，首先要知道两个概念：生成（generate） 和 传播（propagate）。生成和传播分别代表两种进位类型。

假设 A 和 B 是两个加数， A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 分别代表 A 和 B 从右边数第 i 位上的数，i 从 0 开始计数， C i C\_i Ci 代表第 i-1 位产生的进位， C 0 = 0 C\_0=0 C0=0 。**生成**指的是无论右边有没有进位，当前位上都会产生进位，比如二进制的 10 + 10，个位上相加得 0，二位（类似于十进制的十位）上相加得 0，产生进位 1，于是我们说二位上是生成的，我们用  G i G\_i Gi 表示第 i 位是否生成，其实可以看出来，只有当  A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 同时为 1 时，第 i 位才生成，所以  G i = A i ⋅ B i G\_i = A\_i \\cdot B\_i Gi=Ai⋅Bi（ A i ⋅ B i A\_i \\cdot B\_i Ai⋅Bi 表示  A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 做「与」操作）；**传播**指的是由于右边有进位，导致当前位相加时产生了进位，比如二进制的 101 + 111，本来二位上 0 + 1 没有产生进位，但是由于个位上两个 1 相加产生了进位，导致现在二位上其实是 0 + 1 + 1，由此产生了进位，这种情况我们称之为传播，用  P i P\_i Pi 表示第 i 位是否传播，不难发现， A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 只要有一个为 1，第 i 位就会传播，所以  P i = A i + B i P\_i=A\_i + B\_i Pi=Ai\+Bi（ A i + B i A\_i + B\_i Ai\+Bi 表示  A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 做「或」操作）。

下表展示了 A 和 B 相加时第 i 位上生成和传播的各种情况（别忘了， C i C\_i Ci 代表第 i-1 位产生的进位）：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

生成和传播决定了 A、B 相加时某一位上会不会产生进位，即  C i + 1 = G i + P i ⋅ C i C\_\{i+1\}=G\_i+P\_i \\cdot C\_i Ci\+1=Gi\+Pi⋅Ci。例如，两个 4 bit 位的数相加时，我们可以得到以下等式：  
 C 1 = G 0 + P 0 ⋅ C 0 C 2 = G 1 + P 1 ⋅ C 1 C 3 = G 2 + P 2 ⋅ C 2 C 4 = G 3 + P 3 ⋅ C 3 C\_\{1\}=G\_\{0\}+P\_\{0\}\\cdot C\_\{0\} \\\\ C\_\{2\}=G\_\{1\}+P\_\{1\}\\cdot C\_\{1\} \\\\ C\_\{3\}=G\_\{2\}+P\_\{2\}\\cdot C\_\{2\} \\\\ C\_\{4\}=G\_\{3\}+P\_\{3\}\\cdot C\_\{3\} \\\\ C1=G0\+P0⋅C0C2=G1\+P1⋅C1C3=G2\+P2⋅C2C4=G3\+P3⋅C3  
把  C 1 C\_1 C1 代入  C 2 C\_2 C2， C 2 C\_2 C2 代入  C 3 C\_3 C3， C 3 C\_3 C3 代入  C 4 C\_4 C4，可以得到下面这个展开的等式：  
KaTeX parse error: No such environment: align\* at position 8: \\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\*̲\}̲ &C\_\{1\}=G\_\{0\}+P…  
因为  G i G\_i Gi 和  P i P\_i Pi 都是由  A i A\_i Ai 和  B i B\_i Bi 计算出来的，并且  C 0 = 0 C\_0=0 C0=0，所以  C 1 ∼ C 4 C\_1\\sim C\_4 C1∼C4 都可以直接通过电路算出来，无需等待前面的计算结果，得到  C i C\_i Ci 之后，再将  C i C\_i Ci 与  A i A\_i Ai 、  B i B\_i Bi 输入全加器，即可得到每一位上的计算结果。与原始的全加器从右往左依次计算相比，CLA 效率要高很多。

由于 CLA 的电路实现比较复杂，且位数越多越复杂，所以一般以 4 个全加器为一组，组成一个 CLA，再将多个 CLA 组合起来，组成超级 CLA，实现多位二进制数的加法运算。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lvdW5nMjQxNQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

在 CLA 的基础上，又进一步演化出了曼彻斯特进位链，低位可以共享高位的逻辑电路，计算当前位的进位，节省了电路数量。

下面是用 Java 模拟的超前进位加法器的计算过程。

package com.supermouse;
    
    import java.util.Objects;
    
    /**
     * 模拟超前进位加法器的计算过程
     * @author 王虾片
     * @date 2020/12/16
     */
    public class TestCLA {
        
        private static int p(int a, int b) {
        
            return a | b;
        }
        
        private static int g(int a, int b) {
        
            return a & b;
        }
        
        private static String arrayToString(int[] arr) {
        
            if (Objects.isNull(arr) || arr.length == 0) {
        
                return "";
            }
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int value : arr) {
        
                sb.append(value);
            }
            return sb.toString();
        }
    
        private static int binaryToDecimal(int[] arr) {
        
            if (Objects.isNull(arr) || arr.length == 0) {
        
                return 0;
            }
            int sum = 0;
            int digit = 0;
            for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {
        
                sum += (1 << digit++) * arr[i];
            }
            return sum;
        }
        
        public static void main(String[] args) {
        
            // 参与计算的数的位数
            final int bitLength = 4;
            int[] A = new int[bitLength];
            int[] B = new int[bitLength];
            int[] C = new int[bitLength + 1];
            int[] S = new int[bitLength + 1];
            // int a = 8, b = 6;
            out: for (int a = 0; a < (1 << bitLength); a++) {
        
                for (int b = 0; b < (1 << bitLength); b++) {
        
                    int originA = a, originB = b;
                    // 把十进制转成二进制
                    for (int i = bitLength - 1; i >= 0; i--) {
        
                        A[i] = originA % 2;
                        B[i] = originB % 2;
                        originA /= 2;
                        originB /= 2;
                    }
                    System.out.println("A：" + a + "，二进制：" + arrayToString(A));
                    System.out.println("B：" + b + "，二进制：" + arrayToString(B));
                    // 以下4步在硬件层面可以通过电路同时计算
                    C[3] = g(A[3], B[3]) | (p(A[3], B[3]) & C[4]);
                    C[2] = g(A[2], B[2]) | (p(A[2], B[2]) & C[3]);
                    C[1] = g(A[1], B[1]) | (p(A[1], B[1]) & C[2]);
                    C[0] = g(A[0], B[0]) | (p(A[0], B[0]) & C[1]);
                    // 这个循环在硬件层面可以通过电路同时计算
                    for (int i = bitLength - 1; i >= 0; i--) {
        
                        S[i + 1] = A[i] ^ B[i] ^ C[i + 1];
                    }
                    S[0] = C[0];
                    int calculateResult = binaryToDecimal(S);
                    System.out.println("计算结果：" + calculateResult + "，二进制：" + arrayToString(S));
                    if (calculateResult != a + b) {
        
                        System.out.println("计算错误！！！");
                        break out;
                    }
                    System.out.println();
                }
            }
        }
    }

**参考资料：**

*  https://time.geekbang.org/column/article/95883
 *  https://en.wikipedia.org/wiki/Carry-lookahead\_adder

*本文部分图片来自网络，如有侵权，请联系作者删除*

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