数据结构--栈

阳光穿透心脏的1/2处 2022-12-29 04:56 23阅读 0赞

# 数据结构–出栈顺序 #

> 近日在复习数据结构，看到栈的时候，发现1个元素进栈，有1种出栈顺序；2个元素进栈，有2种出栈顺序；3个元素进栈，有5种出栈顺序，那么一个很自然地问题就是n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

> 我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：
> 
> f(1) = 1 //即 1
> 
>  f(2) = 2 //即 12、21
> 
>  f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
> 
> 然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

## 分析： ##

*  1.  如元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
 *  1.  如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) \* f(2)；
 *  1.  如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) \* f(1)；
 *  1.  如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

> 结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) \* f(1) + f(1) \* f(2) + f(3);  
> 为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：  
> f(4) = f(0)\*f(3) + f(1)\*f(2) + f(2) \* f(1) + f(3)\*f(0)  
> 然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：  
> f(n) = f(0)\*f(n-1) + f(1)\*f(n-2) + … + f(n-1)\*f(0)

即

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