归一化输入特征加快模型训练

末蓝、 2022-12-28 01:55 158阅读 0赞

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## 1.9 归一化输入 Normalizing inputs ##

训练NN，其中一个加速训练的方法就是归一化输入。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

如上图，数据集的散点图。  
假设一个训练集有两个特征，输入特征为2维，归一化需要两个步骤：

*  step1：零均值

μ = 1 m ∑ i = 1 m x ( i ) \\mu =\\frac 1m\\sum\_\{i=1\}^mx^\{(i)\}μ=m1i=1∑mx(i)  
向量X等于每个训练数据 x 减去μ \\muμ，即`X := x-μ`，意思是移动训练集，直到它完成零均值化。如下图。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

*  step2：归一化方差

注意：上图中特征x 1 x\_1x1的方差比特征x 2 x\_2x2的方差要大得多  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

我们要做的是给σ \\sigmaσ赋值。  
σ 2 = 1 m ∑ i = 1 m ( x ( i ) ) 2 \\sigma^2=\\frac 1m\\sum\_\{i=1\}^m(x^\{(i)\})^2σ2=m1i=1∑m(x(i))2  
这是元素y yy的平方。σ 2 \\sigma^2σ2是一个向量，它的每个特征都有方差。

到此，我们已经完成零值均化，( x ( i ) ) 2 (x^\{(i)\})^2(x(i))2或者说元素y 2 y^2y2就是方差。我们把向量X所有数据除以向量σ 2 \\sigma^2σ2，即`X /=σ**2`，最后变成下图形式。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

此时x 1 x\_1x1和x 2 x\_2x2的方差都等于1，如下图。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

提示一下，如果你用它来调整训练数据，那么也用相同的μ \\muμ和σ 2 \\sigma^2σ2来归一化测试集。尤其是，你不希望训练集和测试集的归一化有所不同。所以你要用同样的方法调整测试集，而不是在训练集和测试集上分别预估μ \\muμ和σ 2 \\sigma^2σ2。

训练数据和测试数据都是通过相同μ \\muμ和σ 2 \\sigma^2σ2定义的相同数据转换，其中μ \\muμ和σ 2 \\sigma^2σ2是由训练集数据计算得来的。

**为什么我们想要归一化输入特征？**

J ( w , b ) = 1 m ∑ i = 1 m L ( y ^ ( i ) , y ( i ) ) J(w,b)=\\frac 1m\\sum\_\{i=1\}^mL(\\hat y^\{(i)\},y^\{(i)\})J(w,b)=m1i=1∑mL(y^(i),y(i))  
上面是代价函数J公式。

我们来对比一下非归一化和归一化代价函数有什么不同。

*  非归一化的输入特征

如果你使用非归一化的输入特征，代价函数会像这样  
![在这里插入图片描述][20200522143152353.png]

这是一个非常细长狭窄的代价函数，最小值应该在原点。  
但如果特征值在不同范围，假如x 1 x\_1x1取值范围从1到1000，特征x 2 x\_2x2的取值范围从0到1，结果是参数w 1 w\_1w1和w 2 w\_2w2值的范围或比率将会非常不同。

上图数据轴应该是w 1 w\_1w1和w 2 w\_2w2，但为了便于直观理解，图中标记为w和b。代价函数就有点像狭长的碗一样，如果你能画出该函数的部分轮廓，它会是这样一个狭长的函数，如下图。  
![在这里插入图片描述][2020052214402856.png]

如果你在上图这样的代价函数上运行梯度下降法，你必须使用一个非常小的学习率。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

如上图，梯度下降法可能从图中左下方开始，需要多次迭代过程，直到最后找到最小值。

*  归一化特征

然而如果你归一化特征，代价函数平均起来看更对称。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU1NTk4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

此时代价函数是一个更圆的球形轮廓。如上图，**不论从哪个位置开始，梯度下降法都能够更直接地找到最小值，你可以在梯度下降法中使用较大步长**，而不需要像在非归一化狭长图中那样反复执行。

当然，实际上w是一个高维向量，因此用二维绘制并不能正确地传达并直观理解。但总得来说，代价函数更圆一些，就更容易优化。前提是特征都在相似范围内，而不是一个特征从1到1000，另外特征从0到1的范围，而是特征都在-1到1范围内或相似偏差，这使得代价函数优化起来更简单快速。

实际上如果假设特征x 1 x\_1x1范围在0-1之间，x 2 x\_2x2的范围在-1到1之间，x 3 x\_3x3范围在1-2之间，它们是相似范围，所以算法运行会表现得很好。

当它们在非常不同的取值范围内，如其中一个从1到1000，另一个从0到1，这对优化算法非常不利。但是仅将它们设置为均化零值，假设方差为1，确保所有特征都在相似范围内，通常可以帮助学习算法运行得更快。

所以如果输入特征处于不同范围内，可能有些特征值从0到1，有些从1到1000，那么归一化特征值就非常重要了。如果特征值处于相似范围内，那么归一化就不是很重要了。执行这类归一化并不会产生什么危害，我通常会做归一化处理，虽然我不确定它能否提高训练或算法速度。

## 总结 ##

*  输入特征处于相似范围内，不一定要归一化。
 *  输入特征处于不同范围内，一定要归一化。

执行这类归一化并不会产生什么危害，所以别管范围，都做吧。

[https_blog.csdn.net_weixin_42555985_article_details_106278473]: https://blog.csdn.net/weixin_42555985/article/details/106278473
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