数字图像学笔记——6. 噪音生成（椒盐噪音、高斯噪音、泊松噪音）

缺乏、安全感 2022-12-27 04:44 1061阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  噪音的产生
 *  噪音函数
 *   *  1. 椒盐噪音（Salt Pepper Noise）
     *  2. 高斯噪音（Gaussian Noise）
     *  3. 泊松噪音（Poisson Noise）
     *   *  泊松分布（Poisson Distribution）
         *  泊松分布与光通量
         *  泊松过程(Poisson Process)

# 噪音的产生 #

所谓噪音，就是指在原始信号中出现了我们不希望的信号，或者干扰。了解噪音的生成方法，是为了方便我们更好的评估去噪函数。通常，在图像学领域，由于传感器的原因，会出现3种比较常见的噪音。

分别是椒盐噪音、高斯噪音以及泊松噪音。现在就来分别了解下这些噪音的产生原因，以及手工实现噪音产生的方法。

# 噪音函数 #

之所以降噪，是因为在图像数据的存储、传输过程中，通常会因为电子元器件之间的电磁干扰产生，又或者图像数据在传输过程中遇到来自自然界、或者人为的干扰。

举个例子来说，过去黑白电视机经常由于电信号干扰，而在图像中产生雪花。又或者是拿一个强磁，对着电子管的电视机进行干扰，而在图像中出现一些水纹波。

那么，工程师们根据经验，把常见噪音进行了以下几种的分类。

## 1. 椒盐噪音（Salt Pepper Noise） ##

![在这里插入图片描述][20210124213145282.jpg_pic_center]  
椒盐噪声(salt-and-pepper noise)又称脉冲噪声，它随机改变一些像素值，在二值图像上表现为使一些像素点变白，一些像素点变黑。 是由图像传感器，传输信道，解码处理等产生的黑白相间的亮暗点噪声，也就是老人们比较熟悉的所谓“雪花”。

N = \{ 0 p e p p e r 255 s a l t N = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0 & pepper\\\\ 255 & salt \\end\{matrix\}\\right. N=\{ 0255peppersalt

def salt_pepper_noise(image, ratio):
        output = np.zeros(image.shape, np.uint8)
    
        for i in range(image.shape[0]):
            for j in range(image.shape[1]):
    
                rand = random.random()
                if rand < ratio:  # salt pepper noise
                    if random.random() > 0.5:  # change the pixel to 255
                        output[i][j] = 255
                    else:
                        output[i][j] = 0
                else:
                    output[i][j] = image[i][j]
    
        return output

输出效果：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

## 2. 高斯噪音（Gaussian Noise） ##

文字的描述比较枯燥，我这里就直接贴一张图来说明什么叫高斯噪音

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
首先从一维来介绍，假设某一种有效信号它表示为 μ \\mu μ，而随着时间的延续，比方说这个信号是来自某种温度传感器，由于传感器老化或者传输信号出现了某种干扰，这些干扰的信号范围在 \[ − 3 σ , 3 σ \] \[-3\\sigma, 3\\sigma\] \[−3σ,3σ\]之间，然后我们把这段时间内噪音的振幅收集并且整理后，发现它符合正态分布曲线，亦或者称为高斯曲线，那么这样的噪音就称为高斯噪音。

f ( x ) = 1 2 π σ e ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x) = \\frac\{1\}\{ \\sqrt \{2 \\pi \} \\sigma \} e^(- \\frac\{(x- \\mu )^2\}\{2 \\sigma^2\} ) f(x)=2πσ1e(−2σ2(x−μ)2)

这个公式简单的说一下：

*  曲线关于 x = μ x = \\mu x=μ 对称，通常这个值对应的是**信号本号**
 *   x = μ x = \\mu x=μ 处为正态分布的最大值，振幅为  1 2 π σ \\frac\{1\}\{ \\sqrt \{2 \\pi \} \\sigma \} 2πσ1，也就是信号本号自身的强度，亦或者说是**期望值**
 *  而 σ \\sigma σ所决定的，就是噪音信号的分布情况，数学上称这玩意为**标准差**
 *  当标准差越小，信号噪音就越集中在期望值附近，换句话说也就是信号受噪音影响程度越小，而标准差越大，信号就越模糊。

所以，如果将信号挪到了0上，而噪音分布的标准差为1的时候，这个就是小学二年级所说的标准正态分布了。

现在我们徒手撸一个高斯分布函数的实现：

def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
        exp = math.exp(-1 * (
                           math.pow(x - mu, 2) / (2 * math.pow(sigma, 2))
                       ))
        peak = (math.sqrt(2 * 3.14159) * sigma)
    
        return exp / peak

如果用numpy，代码可以写的更简单：

def gaussian_noise_kernel(x, mu, sigma):
    	return np.exp(-1*((x-mu)**2)/(2*(sigma**2)))/(math.sqrt(2*np.pi) * sigma)

然后，我们使用numpy的linspace函数，生成X轴坐标，关于这个函数怎么使用的，你可以网上搜素一下它的函数说明。

用一种比较笨的方法计算Y轴坐标：

mu1, sig1 = 0, 1  # standard distribution
        mu2, sig2 = 1, 1  # move the chart to right
        mu3, sig3 = 0, 0.5  # increase the noise coverage
        mu4, sig4 = 0, 2.5  # increase the noise coverage
        x = np.linspace(-5, 5, 100)
    
        y1, y2, y3, y4 = [], [], [], []
        for i in range(50):
            t1 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu1, sig1)
            t2 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu2, sig2)
            t3 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu3, sig3)
            t4 = gaussian_noise_kernel(x[i], mu4, sig4)
    
            y1.append(t1)
            y2.append(t2)
            y3.append(t3)
            y4.append(t4)
    
        plt.plot(x, y1, 'r', label='mu1, sig1 = 0, 1')
        plt.plot(x, y2, 'g', label='mu2, sig2 = 1, 1')
        plt.plot(x, y3, 'b', label='mu3, sig3 = 0, 0.5')
        plt.plot(x, y4, 'm', label='mu4, sig4 = 0, 2.5')
        plt.legend()
        plt.grid()
        plt.show()
        plt.legend()
        plt.grid()
        plt.show()

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

现在我们已经成功的绘制处高斯分布曲线，然后把这个分布曲线函数引入到图像中，用来生成随机噪点。

首先明确一点，高斯噪音的特点是增加或减少原始信号，使得原始信号出现了随机“抖动”，并且抖动范围服从高斯分布（正态分布）。所以如果要生成高斯噪音，那么我们需要在原来高斯核的基础上，增加一个随机数生成器，并且把高斯函数调整为对于X=0轴上的正态分布（不一定是标准正态分布）。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
所以，如果有一个正弦信号，那么叠加上高斯噪音后，输出的结果就会呈现上图所示的样子。现在放上实现的代码，它的执行效果不是最好的，但你应该是能看明白噪音的叠加方式。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

def gaussian_noise(image, ratio, sigma):
        # generate gaussian kernel
        x = np.linspace(- 4 * sigma, 4 * sigma, 100)
        kernel = gaussian_noise_kernel(x, 0, sigma)
    
        # output image
        output = np.zeros(image.shape, np.uint8)
    
        for i in range(image.shape[0]):
            for j in range(image.shape[1]):
    
                rand = random.random()
                if rand < ratio:  # apply gaussian noise
                    pos = int(100 * random.random()
    
                    if x[pos] < 0:
                        temp = image[i][j] * (1 - kernel[pos])
                        if temp < 0:
                            output[i][j] = 0
                        else:
                            output[i][j] = temp
                        continue
    
                    if x[pos] >= 0:
                        temp = image[i][j] * (1 + kernel[pos])
                        if temp > 255:
                            output[i][j] = 255
                        else:
                            output[i][j] = temp
    
                else:
                    output[i][j] = image[i][j]
    
        return output

## 3. 泊松噪音（Poisson Noise） ##

简单的说就是满足泊松分布的噪音，你会觉得它和正态分布很相似，其实如果我们采集的数据越多，精度越密，其形态上它越发接近高斯分布函数，也就是正态分布，是常见的一种满足指数函数分布的离散模型。

### 泊松分布（Poisson Distribution） ###

泊松噪音存在的根本原因是因为光是由离散的光子构成（光的粒子性）。光源发出的光子打在CMOS上，从而形成一个可见的光点。光源每秒发射的光子到达CMOS的越多，则该像素的灰度值越大。但是因为光源发射和CMOS接收之间都有可能存在一些因素导致单个光子并没有被CMOS接收到或者某一时间段内发射的光子特别多，所以这就导致了灰度值会有波动，也就是所谓的散粒噪声。举例而言，在光源强度比较低的时候，比如说设定光强为每秒5个光子的时候，那么每秒实际CMOS接受到的光子数可能从0到10（服从泊松分布）1。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
那么，泊松分布或者泊松噪音的基本形式是怎样的呢？

P ( x = k ) = e − λ λ k k ! P(x=k) = \\frac\{e^\{- \\lambda\} \\lambda ^ k\}\{k!\} P(x=k)=k!e−λλk

这里， λ \\lambda λ 表示的是期望值，既某过程中，在它的给定时间内，事件的发生次数，比方说假设世界杯赛场上，每场比赛的进球数大约在2.5个球，那么 λ = 2.5 \\lambda=2.5 λ=2.5，因此假设对于一场比赛，分别发生0次进球，1次进球，2次进球的概率是2？

出现0次进球  
 P ( x = 0 ) = 2. 5 0 0 ! e − 2.5 ≈ 0.082 P(x=0) = \\frac\{2.5^0\}\{0!\} e^\{-2.5\} \\approx 0.082 P(x=0)=0!2.50e−2.5≈0.082

出现1次进球  
 P ( x = 1 ) = 2. 5 1 1 ! e − 2.5 ≈ 0.205 P(x=1) = \\frac\{2.5^1\}\{1!\} e^\{-2.5\} \\approx 0.205 P(x=1)=1!2.51e−2.5≈0.205

出现2次进球  
 P ( x = 2 ) = 2. 5 2 2 ! e − 2.5 ≈ 0.257 P(x=2) = \\frac\{2.5^2\}\{2!\} e^\{-2.5\} \\approx 0.257 P(x=2)=2!2.52e−2.5≈0.257

出现3次进球  
 P ( x = 3 ) = 2. 5 3 3 ! e − 2.5 ≈ 0.213 P(x=3) = \\frac\{2.5^3\}\{3!\} e^\{-2.5\} \\approx 0.213 P(x=3)=3!2.53e−2.5≈0.213

⋯ \\cdots ⋯

现在我们把数据绘制到图表上，根据我们推算的进球概率，这样一个概率分布，就是泊松分布了。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

### 泊松分布与光通量 ###

接下来，我们把这个进球的过程换成单位时间内，有多少光子打到像素传感器上的过程3。为了说明这个问题，我们先解释一下照片成像的过程。我们在初中阶段的光学课程上，知道以前的老式相机是光束通过透镜，与胶片上的光感材料作用，把影像印在了胶片上，这个过程和小孔成像很类似。

而现代数码相机的普及，最大的区别就是胶片变成了光传感器。也就是CMOS传感器。由于它是一种光敏材料，在被一定量的光子照射后会产生电子，继而引起数字信号的变化。而在一个CMOS传感器上，有极多的传感单元，而这些传感单元，你可以理解为我们平常提到的像素。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]  
而光子作用在每一个传感单元上所产生的信号不同，最终组合在一起成为了像素照片。所以如果我们把这个过程简化后，假设在单位时间内，有一束光包含有400个光子打到了相机的CMOS传感器上，从微观上说，这些光子是随机的落入到不同的像素传感器内。

因此对应一个像素传感器来说，如果我们统计一个像素在单位时间 t t t内，会有多少个光子落入到一个像素传感器内，那么可能会得出 \[ 0 , 4 \] \[0,4\] \[0,4\]这样的一个结果。那么统计平均落入的光子数，并且绘制它的落入分布情况，我们可能会得出一个泊松分布。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]  
假设这个情况的 λ = 1.05 \\lambda=1.05 λ=1.05，也就是平均每个像素传感器落入1.05个光子，那么它的概率分布图，也就是下面这个样子了：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]  
那么这个模型的标准差 σ = ∑ ( x i − x ˉ ) n ≈ 1.024 \\sigma = \\sqrt\{\\frac\{\\sum (x\_i - \\bar\{x\})\}\{n\}\} \\approx 1.024 σ=n∑(xi−xˉ)≈1.024，而这里的1.024就是**光子散粒噪音（photon shot noise）**

由于光子极微小，尽管我们假设从物体反射进入到CMOS传感器上的光束在单位时间内为400个光子，但这数量本质上来说是估算，或者说是平均数。因此实际上在单位时间 t t t内，传入CMOS的光子数可能是401，也可能是387个光子。

尽管从宏观上光子传播沿直线传播，但在**微观上也就是光子运动轨迹存在一定程度的不确定性，这必然导致了噪音的产生。**

所以我们可以直观的凭本能知道，如果这样一些带着随机运动的粒子，在击打到某个平面位置时，尽管大范围上符合某个范围的分布区间，但如果细致的观察，每一个落点存在着一定的误差（“噪音”）。

这就像是用霞弹枪、或者抛洒石灰，或者颜料，即便用同一种颜料，同一个角度抛洒到画布上，任然无法做出两幅一样的画的那种奇妙的感觉。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]  
那么，光子到达图像传感器的这些波动如何影响我们的图像？噪点会使照片的视觉细节失真。而下图显示了一组模拟的图像，其中指定了每个像素的平均粒子数或光子数。 这表明对于低数量的光子，噪声占主导地位，但是随着光子数量（光通量）的增加，图像结构变得更加明显。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]  
所以，如果我们要试图模拟泊松噪音，也就是单位像素传感器 p p p在单位时间 t t t内捕捉到的有效光子量，那么这个过程就是一个所谓的 **“泊松过程(Poisson Process)”**。

### 泊松过程(Poisson Process) ###

现在，我们已经知道了一个概率事件它的随机概率发生分布情况，如果近似符合二项分布的，就是一个泊松分布。现在我们需要反过来，去做一个符合这个分布的随机事件发生过程，而它就是所谓的泊松过程了。

回到上面的例子，如果在单位事件内 t t t，向CMOS传感器发射了（或者说物体反射了）一束包含400个光子光束，落在单个像素传感器上的光子数为  P s ∈ \[ 0 , 4 \] P\_s \\in\[0, 4\] Ps∈\[0,4\] ，我们在不考虑这些光子激发的电子有效率的情况下，假设1个光子落入了像素传感器就会产生1个电子。

也就是说，在单位时间内，一个像素可能接收到0个、1个、2个、3个、4个光子4。而如果我们把观察时间微分为 Δ t \\Delta t Δt，如果假设在某一个时间内，发生了1个光子击中像素传感器，那么接下来再发生一次光子击中像素传感器的概率就会下降；如果再次发生一次击中，那么等待第三次发生的概率就会更小，直到全部观察时间结束。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]  
这一过程符合于指数，通常情况下，我们用下式表示这个过程，用通俗的话来描述：**就是当某事件发生后，后续事件再次发生的概率，随着时间增加而减少**

P ( t w a i t > t e v e n t ) = e − σ ⋅ t P(t\_\{wait\} > t\_\{event\}) = e^\{- \\sigma \\cdot t\} P(twait>tevent)=e−σ⋅t

这里 t t t表示时间变量， σ \\sigma σ表示单位时间内 Δ t \\Delta t Δt事件怕平均发生次数，或者说是期望。那么，我们同样可以得出某事件发生前的前面的事件发生概率，**随着时间减少而增加**

P ( t w a i t ≤ t e v e n t ) = 1 − e − σ ⋅ t P(t\_\{wait\} \\leq t\_\{event\}) = 1 - e^\{- \\sigma \\cdot t\} P(twait≤tevent)=1−e−σ⋅t

明白了这个公式的概念，接下来我们就可以来模拟这个泊松过程了，那么受限于篇幅，生成泊松随机数的过程我就放在下一章里进行介绍了。

--------------------

1.  [《泊松噪音》][Link 1] ↩︎
2.  [Poisson Distribution, Alexander Katz, Andy Hayes, Tejas Suresh, etc.][Poisson Distribution_ Alexander Katz_ Andy Hayes_ Tejas Suresh_ etc.] ↩︎
3.  [How to Create Awesome Noise That Is Actually Real, Erez Posner  
    ][How to Create Awesome Noise That Is Actually Real_ Erez Posner] ↩︎
4.  [The Poisson Distribution and Poisson Process Explained, Will Koehresen][The Poisson Distribution and Poisson Process Explained_ Will Koehresen] ↩︎

[20210124213145282.jpg_pic_center]: /images/20221120/271af1390f944412b38b155192ea23ea.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/1d5a9d87c6de4553b424ff101255b5d4.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221120/fb7c17a9a2d1465ca2723430ca40f637.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221120/fe79607ec7f240a6b191583519e229af.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: /images/20221120/ed5886aeb8d24f9faa52882f136e3be2.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: /images/20221120/a009dd000a944340b82337bbaee28b4c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: /images/20221120/9bd7857236d4459c940912204fa37bc2.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: /images/20221120/658c5c1d662d4988a066728109fa5dec.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: /images/20221120/a35599b816914f68b1665fd4b33226ba.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]: /images/20221120/f502c18b93b64247821052718712df04.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]: /images/20221120/df59e2c8f489445a9c798cd9fa907d57.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]: /images/20221120/507dd46c4eb7487aaa8c014029af9d50.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]: /images/20221120/6c35e35af8e949f4b64d76bd563cc689.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]: /images/20221120/bfcc6f04e35b48ad8eaeb80424f11406.png
[Link 1]: http://www.pantsiao.com/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%EF%BC%88%E6%95%A3%E7%B2%92%E5%99%AA%E5%A3%B0%EF%BC%89/
[Poisson Distribution_ Alexander Katz_ Andy Hayes_ Tejas Suresh_ etc.]: https://brilliant.org/wiki/poisson-distribution/
[How to Create Awesome Noise That Is Actually Real_ Erez Posner]: https://medium.com/datadriveninvestor/how-to-create-awesome-noise-that-is-actually-real-cf178c9f0ae0
[The Poisson Distribution and Poisson Process Explained_ Will Koehresen]: https://towardsdatascience.com/the-poisson-distribution-and-poisson-process-explained-4e2cb17d459