李群和李代数以及线性变换相关笔记

秒速五厘米 2022-12-24 00:36 139阅读 0赞

参考链接：[https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=5][https_www.bilibili.com_video_BV1ys411472E_p_5]

1.  **Lie’s Group is Group**, 既是一个群，又是流形。
2.  群有两种运算

群运算

群乘法

求逆元

1.  单餐微分同胚群
2.  旋转矩阵自身带有约束，正交且行列式为1
3.  李代数可以变成无约束优化
4.  群的性质： 凤姐咬你 封闭性 结合性 幺元 逆
5.  旋转矩阵和矩阵乘法构成群 旋转矩阵群
6.  变换矩阵和矩阵乘法构成群 变换矩阵群
7.  线性变换： 保持网格平行且等距分布
8.  **Grid lines remain parallel and evenly spaced.**
9.  线性变换是将向量作为输入和输出的一类函数
10. 线性变换看成对空间的挤压伸展，他保持网格线平行等距分布，并且保持原点不变。关键的一点在于，线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定。在二维空间中，基向量就是 i 和 j i和j i和j，这是因为其他任何向量都能表示为基向量的线性组合。
11. 两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用。
12. 乘积需要从右向左读。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]
13. 三维行列式代表的是平行六面体的体积  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]
14. 秩 变换空间后的维数
15. 列空间就是矩阵的列所张成的空间
16. 对于满秩变换，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身
17. 对于一个非满秩矩阵来说，他将空间压缩到一个更低的维度上，也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量。
18. 举个例子，如果一个二维线性变换将空间压缩到一条直线上，那么沿着某个不同方向直线上的所有向量就会被压缩到原点。
19. 3X2矩阵的意义  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
    **几何意义**：将二维空间映射到三维空间上。因为矩阵中有两列表输入空间有两个基向量，有三行表明每一个基向量在变换后都用三个独立的坐标描述。
20. 3X2矩阵的意义  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]**几何意义**： 三维向量到二维空间的变换，两行表示这三个基向量在变换后都仅用两个坐标来描述。
21. 点积和投影相关。
22. 1X2矩阵与二维向量相乘的计算过程和转置矩阵并求点积的计算过程相同，所以这个投影变换必然会与某个二维向量相关。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

*  启发： 当看到任何一个线性变换，它的输出空间是一维数轴，无论他如何定义，空间中会存在唯一的向量v与之相关。就这一点而言，应用变换和与向量v做点积是一样的
 *  一维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量。
 *  小总结一下： 表面上看，点积是理解投影的有力几何工具。并且检验两个向量方向是否相同。
 *  真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量
 *  当你看到一个（多维）空间到数轴的线性变换时，他都与那个空间中的唯一一个向量对应，也就是说，应用线性变换与和这个向量点乘等价。
 *  群结构保证了在群上的运算具有良好的性质
 *  群论是研究群的各种结构和性质的理论
 *  李群（Lie Group)
    
     *  具有连续性质的群
     *  既是群也是流形
     *  直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。
     *  但是，SO(3) 和 SE(3)都是李群
     *  但是，SO(3)和SE(3) 只有定义良好的乘法，没有加法，所以很难进行取极限，求导等操作。
 *  李代数
    
     *  李代数： 与李群对应的一种结构，位于向量空间
        
         *  通常记作小写的so(3)和se(3)。书写以哥特体突出显示。
         *  事实上是李群单位元处的正切空间
     *  李代数的引出：
        
         *  任意旋转矩阵R，满足：  
             R R T = I . RR^T=I. RRT=I.

## ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6] ##

*  李代数： 每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元数的正切空间的性质。
    
     *  封闭性
     *  双线性
     *  自反性
     *  雅克比等价  
        ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70]
 *  李括号，\[\], 直观上来书，表达两个元素之间的差异，满足自反性，自己跟自己等于0
 *  例子： 三维空间向量 + 叉积运算 构成李代数
 *  ![在这里插入图片描述][20201127204153143.png]
 *  ![在这里插入图片描述][20201127204654626.png]
 *

# 指数映射和对数映射 #

李群和李代数是一一对应的关系，给你一个李群，你能得到一个李代数，给你一个李代数，你能得到李群。

李代数上面取一个反对称，再加一个指数映射，得到李群。

*  指数映射反应了从李代数到李群的对应关系：  
    ![在这里插入图片描述][20201127213050323.png]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]![在这里插入图片描述][20201128204649249.png]

*  齐次坐标就是在原有坐标上加上一个维度，简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标
 *  齐次坐标有规模不变性。关于[齐次坐标的理解][Link 1]
 *  可微的几何意义就是微观线性。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]
 *   ∂ x ∂ u \\frac\{\\partial x\}\{\\partial u\} ∂u∂x的意义就是没运动1单位的u，x的改变量
 *  **轴角**定义：[维基百科][Link 2]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0NDQ3J1bm5lcg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]
 *  **旋转矩阵及其性质**：[博客][Link 3]
 *  **点乘（dot product）的几何意义**：如图3，我们从点乘的公式可以得到α•β相当与β的模乘上α在β上投影的模，所以当|β|=1时，α•β就是指α在β上投影的模。
 *  **旋转矩阵逆的几何意思**：旋转矩阵相当于把一个向量（空间）旋转成新的向量（空间），那么逆可以理解为由新的向量（空间）转回原来的向量（空间）。
 *  **罗德里格斯公式**：[博客链接][Link 4]
 *  对原四元数虚部取反得到其共轭

[https_www.bilibili.com_video_BV1ys411472E_p_5]: https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=5
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[Link 1]: https://blog.csdn.net/janestar/article/details/44244849
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[Link 2]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BD%B4%E8%A7%92
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[Link 3]: https://www.cnblogs.com/caster99/p/4703033.html
[Link 4]: https://www.wikiwand.com/en/Rodrigues%27_rotation_formula