【线性代数（11）】极大线性无关组、向量组的秩

Dear 丶 2022-12-20 05:59 187阅读 0赞

### 向量组的秩 ###

*  1 极大线性无关组
 *  2 向量组的秩
 *  3 极大线性无关组的求解

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# 1 极大线性无关组 #

如下，四个向量构成的向量组，其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示  
 ( 1 0 ) ( 2 0 ) ( 0 10 ) ( 0 5 ) ⇒ ( 1 0 ) ( 0 5 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\0\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 2\\\\0\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\10\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\5\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\0\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\5\\end\{matrix\}\\right) (10)(20)(010)(05)⇒(10)(05)极大线性无关组： α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\alpha\_\{3\},\\alpha\_\{4\},\\alpha\_\{5\} α1,α2,α3,α4,α5的部分组 α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2满足  
1） α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2线性无关  
2）每个向量均可由 α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2表示  
则称 α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2是这个向量组的极大无关组（这里的极大是指：找无关的向量组的向量个数最大），比如上面的示例可以选择是  ( 1 0 ) ( 0 5 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\0\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\5\\end\{matrix\}\\right) (10)(05)也可以是 ( 2 0 ) ( 0 5 ) \\left(\\begin\{matrix\} 2\\\\0\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 0\\\\5\\end\{matrix\}\\right) (20)(05)，故极大无关组不是唯一的，但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的

# 2 向量组的秩 #

定义：极大线性无关组含向量的个数，记作 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\}) r(α1,α2,...,αs)  
回故一下矩阵的秩：非零子式的最高阶数

1） 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = s 0<=r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\})<=s 0<=r(α1,α2,...,αs)<=s

比如下面向量组，根据上述结论，可知极大无关组的个数在0-5之间，但是实际上根据上一节里面的结论：n+1个n维向量组必定线性相关，所以 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = m i n \{ 向 量 的 个 数 , 向 量 的 维 数 \} 0<=r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\})<=min\\\{向量的个数,向量的维数\\\} 0<=r(α1,α2,...,αs)<=min\{ 向量的个数,向量的维数\}  
 ( 1 1 2 ) ( 1 1 0 ) ( 1 2 2 ) ( 1 8 9 ) ( 3 4 5 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\2\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\1\\\\0\\end\{matrix\}\\right)\\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\2\\\\2\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 1\\\\8\\\\9\\end\{matrix\}\\right) \\left(\\begin\{matrix\} 3\\\\4\\\\5\\end\{matrix\}\\right) ⎝⎛112⎠⎞⎝⎛110⎠⎞⎝⎛122⎠⎞⎝⎛189⎠⎞⎝⎛345⎠⎞2） α 1 , α 2 , . . . , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\} α1,α2,...,αs线性无关     ⟺    r = s \\iff r =s ⟺r=s  
3） α 1 , α 2 , . . . , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\} α1,α2,...,αs线性相关     ⟺    r < s \\iff r <s ⟺r<s

定理： α 1 , α 2 , . . . , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\} α1,α2,...,αs可由 β 1 , β 2 , . . . , β t \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},...,\\beta\_\{t\} β1,β2,...,βt表示，则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},...,\\alpha\_\{s\}) <= r(\\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},...,\\beta\_\{t\}) r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)  
注意：等价的向量组有相同的秩，但是有相同秩的向量组不一定等价

行秩与列秩  
比如  
 A = ( 1 1 1 1 1 3 0 2 1 1 5 6 9 1 0 0 1 1 ) A = \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&1&1&1&3\\\\0&2&1&1&5&6\\\\9&1&0&0&1&1\\end\{matrix\}\\right) A=⎝⎛109121110110151361⎠⎞这个向量可以分作行向量组 α 1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 ) , α 2 = ( 0 , 2 , 1 , 1 , 5 , 6 ) , α 3 = ( 9 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 ) \\alpha\_\{1\} = (1,1,1,1,1,3),\\alpha\_\{2\}=(0,2,1,1,5,6),\\alpha\_\{3\} = (9,1,0,0,1,1) α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)与列向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\beta\_\{3\},\\beta\_\{4\},\\beta\_\{5\},\\beta\_\{6\} β1,β2,β3,β4,β5,β6

结论：行秩 = 列秩 = 矩阵的秩 r ( A ) r(A) r(A)

就是利用上面的式子，直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值

B = ( 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ) ⇒ ( 1 1 1 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 ) B = \\left(\\begin\{matrix\} 3&3&3\\\\2&-1&5\\\\-5&3&-13\\\\4&-3&11\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&1&1\\\\0&-3&3\\\\0&0&0\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right) B=⎝⎜⎜⎛32−543−13−335−1311⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10001−3001300⎠⎟⎟⎞

# 3 极大线性无关组的求解 #

定理：**初等行变换**不改变矩阵**列向量的线性关系**  
 ( 1 0 5 0 1 3 0 0 0 ) ⇒ ( 1 0 5 0 1 3 1 1 8 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&5\\\\0&1&3\\\\0&0&0\\end\{matrix\}\\right)\\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&5\\\\0&1&3\\\\1&1&8\\end\{matrix\}\\right) ⎝⎛100010530⎠⎞⇒⎝⎛101011538⎠⎞比如将第一行和第二行都加到第三行上面去，将向量拆解成向量组进行表示，左侧为 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( 5 , 3 , 0 ) \\alpha\_\{1\} = (1,0,0),\\alpha\_\{2\}=(0,1,0),\\alpha\_\{3\} = (5,3,0) α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0) ，其中 α 1 , α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\} α1,α2线性无关的， α 3 = 5 α 1 + 3 α 2 \\alpha\_\{3\} = 5\\alpha\_\{1\}+3\\alpha\_\{2\} α3=5α1\+3α2。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示， β 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , β 2 = ( 0 , 1 , 1 ) , β 3 = ( 5 , 3 , 8 ) \\beta\_\{1\} = (1,0,1),\\beta\_\{2\}=(0,1,1),\\beta\_\{3\} = (5,3,8) β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8)，显然 β 1 , β 2 \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\} β1,β2是线性无关的，而且 β 3 = 5 β 1 + 3 β 2 \\beta\_\{3\} = 5\\beta\_\{1\}+3\\beta\_\{2\} β3=5β1\+3β2，也就证明了定理。

例题，若 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \\alpha\_\{1\} = (1,-2,2,-1),\\alpha\_\{2\}=(2,-4,8,0),\\alpha\_\{3\} = (-2,4,-2,3),\\alpha\_\{4\} = (3,-6,0,-6) α1=(1,−2,2,−1),α2=(2,−4,8,0),α3=(−2,4,−2,3),α4=(3,−6,0,−6),求解向量组的极大线性无关组

基本步骤：

*  1）不管向量是行或者列，均按照列构成矩阵
 *  2）只用初等行变换，化为行简化阶梯型
 *  3）首非零元所在列做极大无关组
 *  4）其余向量表示系数，直接写出来即可

解：首先按照前两个步骤完成下列的操作，还是以左侧为 α \\alpha α，右侧为 β \\beta β，发现 β 1 , β 2 \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\} β1,β2线性无关，按照第三步就是直接作为极大无关组， β 3 , β 4 \\beta\_\{3\},\\beta\_\{4\} β3,β4直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来，比如 β 3 = − 3 β 1 + 1 2 β 2 , β 4 = 6 β 1 − 3 2 β 2 \\beta\_\{3\} = -3\\beta\_\{1\}+\\frac\{1\}\{2\}\\beta\_\{2\},\\beta\_\{4\} = 6\\beta\_\{1\}-\\frac\{3\}\{2\}\\beta\_\{2\} β3=−3β1\+21β2,β4=6β1−23β2  
 ( 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ) ⇒ ( 1 0 − 3 6 0 1 1 2 − 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \\left(\\begin\{matrix\} 1&2&-2&3\\\\-2&-4&4&-6\\\\2&8&-2&0\\\\-1&0&3&-6\\end\{matrix\}\\right) \\Rightarrow \\left(\\begin\{matrix\} 1&0&-3&6\\\\0&1&\\frac\{1\}\{2\}&-\\frac\{3\}\{2\}\\\\0&0&0&0\\\\0&0&0&0\\end\{matrix\}\\right) ⎝⎜⎜⎛1−22−12−480−24−233−60−6⎠⎟⎟⎞⇒⎝⎜⎜⎛10000100−321006−2300⎠⎟⎟⎞最后按照刚刚梳理的定理：**初等行变换**不改变矩阵**列向量的线性关系**，故对于 β \\beta β适应的线性关系，对于 α \\alpha α同样适用，所以原向量组的极大线性无关组为 α 1 , α 2 , α 3 = − 3 α 1 + 1 2 α 2 , α 4 = 6 α 1 − 3 2 α 2 \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\}, \\alpha\_\{3\} = -3\\alpha\_\{1\}+\\frac\{1\}\{2\}\\alpha\_\{2\},\\alpha\_\{4\} = 6\\alpha\_\{1\}-\\frac\{3\}\{2\}\\alpha\_\{2\} α1,α2,α3=−3α1\+21α2,α4=6α1−23α2

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