单源最短路径问题

- 日理万妓 2022-12-20 05:40 196阅读 0赞

## 单源最短路径问题 ##

**一、问题描述**

1.  如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径，求出最短路径。
2.  分析：  
    单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。
3.  该性质描述为：如果P(i,j)=\{Vi…Vk…Vs…Vj\}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。
4.  假设P(i,j)=\{Vi…Vk…Vs…Vj\}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P’(k,s)，那么P’(i,j)=P(i,k)+P’(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。
5.  上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi…Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi…Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra算法就是以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。  
    譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist\[j\]=min\{dist\[j\],dist\[i\]+matrix\[i\]\[j\]\}。

**二、程序实现**

#include <iostream> 
    #include<stack> 
    #include<cstdlib> 
    #define M 100 
    #define N 100 
    using namespace std; 
    typedef struct node {
         
        int matrix[N][M]; //邻接矩阵 
        int n; //顶点数 
        int e; //边数 
    }MGraph; 
    void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点 
    {
         
        int i,j,k; 
        bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n); 
    for(i=0;i<g.n;i++) //初始化 
    {
         
      if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) {
         
        dist[i]=g.matrix[v0][i]; 
        path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 
    } 
    else {
        
     dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 
     path[i]=-1; 
    } 
     visited[i]=false; 
     path[v0]=v0; 
     dist[v0]=0;
      } 
      visited[v0]=true; 
      for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 
      {
         
      int min=INT_MAX; 
      int u; 
      for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 
      {
         
      if(visited[j]==false&&dist[j]<min) {
         
      min=dist[j]; 
      u=j; 
      } 
      } 
      visited[u]=true; 
      for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 
      {
         
      if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) {
         
      dist[k]=min+g.matrix[u][k]; 
      path[k]=u; 
      } 
      } 
      } 
      } 
      void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 
      {
         
      stack<int> s;
      int u=v;
    while(v!=v0) {
         
       s.push(v); 
       v=path[v]; 
       } 
       s.push(v); 
       while(!s.empty()) {
         
        cout<<s.top()<<"  "; //表示输入的顶点数和边数 
        s.pop(); 
       } 
       } 
       int main(int argc, char *argv[]) {
         
       int n,e; 
       cout<<"输入顶点数和边数: "<<endl;
       while(cin>>n>>e&&e!=0) {
         
       int i,j; 
       int s,t,w; //表示存在一条边s->t,权值为w 
       MGraph g; 
       int v0; 
       int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
       int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n); 
       for(i=0;i<N;i++) 
       for(j=0;j<M;j++) 
       g.matrix[i][j]=0; 
       g.n=n; 
       g.e=e; 
       cout<<"输入两个顶点及其之间边的权值： "<<endl;
       for(i=0;i<e;i++) {
         
       cin>>s>>t>>w; 
       g.matrix[s][t]=w; 
       } 
       	cout<<"输入一个源顶点： "<<endl;
       cin>>v0; //输入源顶点 
       DijkstraPath(g,dist,path,v0); 
       cout<<"输出该源顶点到各顶点的最短路径及权值： "<<endl;
       for(i=0;i<n;i++) {
        
         if(i!=v0) {
         
    	showPath(path,i,v0); 
    	cout<<dist[i]<<endl; 
    	} 
    	} 
    	} 
    	return 0; 
    	}				pev[i] = start; // start可以直接到达i点
    		}
    		dis[start] = 0;
    		vis[start] = 1;
    		for (int i = 1; i < n; i++) {
        
    			int min = MAX;
    			int temp = start;
    			for (int j = 1; j <= n; j++) {
        
    				// 找与起始点相邻的最短的边
    				if (vis[j] != 1 && dis[j] < min) {
        
    					min = dis[j]; // 记录该最小值
    					temp = j; // 该边对应的点
    				}
    			}
    			vis[temp] = 1; // 该点已经找过
    			for (int j = 1; j <= n; j++) {
        
    				// 若要到达j点，经过此边会比不经过的距离更短
    				if (vis[j] != 1 && dis[j] > dis[temp] + map[temp][j]) {
        
    					// 经过此边，比不经过距离更短，更改到达j点的最短距离
    					dis[j] = dis[temp] + map[temp][j];
    					// 设置到达j点前必须先经过temp点
    					pev[j] = temp;
    				}
    			}
    		}
    	}
    }

**三、实验结果与分析**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2VzY0ZBSg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2VzY0ZBSg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

**结果分析：**

*  通过此次实验可以总结出求单源最短路径的一般步骤为,假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U=\{V0\},dist\[i\]记录V0到i的最短距离，path\[i\]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。
 *  从V-U中选择使dist\[i\]值最小的顶点i，将i加入到U中,更新与i直接相邻顶点值,(dist\[j\]=min\{dist\[j\],dist\[i\]+matrix\[i\]\[j\]\})直到U=V，停止。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2VzY0ZBSg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201110195530285.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2VzY0ZBSg==,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2VzY0ZBSg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221120/d4e8dd501510400bbfcfa4ad10a7ffb5.png