【数据结构——图和图的存储结构】

冷不防 2022-12-19 11:58 265阅读 0赞

### 目录 ###

*  一、图的定义和基本术语(Graph)
 *   *  （一）图的定义
     *  （二）图的基本术语
 *  一、图的存储结构
 *   *  （一）邻接矩阵（Adjacency Matrix)
     *   *  1、无向图的邻接矩阵
         *  2、有向图的邻接矩阵
         *  3、网（即有权图）的邻接矩阵
         *  4、邻接矩阵的存储表示
         *  5、采用邻接矩阵表示法创建无向网
     *  （二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List）
     *   *  1、无向图的邻接表表示
         *  2、有向图的邻接表表示
         *  3、图的邻接表的存储定义
         *  4、采用邻接表表示法创建无向图
         *  5、邻接矩阵与邻接表的比较
     *  （三）十字链表(Orthogonal List)
     *   *  1、弧结点的结构
         *  2、顶点结点的结构
         *  3、图的结构定义
         *  4、实例
         *  5、有向图G的十字链表
     *  （四）邻接多重表(Adjacent MultiList)
     *   *  1、边结点的结构
         *  2、顶点结点的结构
         *  3、图的结构定义
         *  4、实例
         *  4、练习：画出无向图G的邻接多重表

# 一、图的定义和基本术语(Graph) #

## （一）图的定义 ##

**图（Graph)是由一个顶点集V和一个边集E构成的数据结构。  
G=(V,E)  
V:顶点（数据元素）的又穷非空集合  
E:边的又穷集合**  
**无向图：每条边都是没有方向的  
有向图：每条边都是有方向的，边也称作弧**

## （二）图的基本术语 ##

**设n表示图中顶点的数目，e表示边的数目**  
**完全图：任意两个点都有一条边相连**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**稀疏图：如果边或者弧的个数满足e<n\*log2n,则称作稀疏图，否则称作稠密图**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
**对无向图来说：**  
*邻接点：若顶点v和顶点w之间存在一条边a,则称顶点v和w互为邻接点。边a与顶点v和w相关联。  
度：与顶点v关联的边的数目，记为TD(v)*

**对有向图来说：**  
*1、<x,y>为有向边（弧），x为有向边的起点（弧尾），y为有向边的终点（弧头）  
2、顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作ID(v)  
3、顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数，记作OD(v)*

**路径：连续的边构成的顶点序列**  
**路径长度：路径上边或者弧的数目  
简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径  
简单回路（简单环）：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

# 一、图的存储结构 #

**图的存储表示特点：  
1、图没有顺序存储结构，但可以借助二维数组来表示图的元素之间的关系  
2、以顶点为核心，建立邻接点和弧的关系；**

## （一）邻接矩阵（Adjacency Matrix) ##

**1、考虑到图是由两个顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难，可以分为两个结构来存储  
2、顶点因为不区分大小，主次，所以可以用一个一维数组来存储，记录各个顶点的信息  
3、边或弧是顶点和顶点的关系，用邻接矩阵来存储，表示各个顶点之间的邻接关系。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

### 1、无向图的邻接矩阵 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

### 2、有向图的邻接矩阵 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

### 3、网（即有权图）的邻接矩阵 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

### 4、邻接矩阵的存储表示 ###

/*图的邻接矩阵存储表示法*/
    //用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵
    #define MaxInt 32767  //表示极大值，即无穷
    #define MVNum 100  //最大顶点数
    typedef char VerTexType;  //假设顶点的数据类型为字符型
    typedef int ArcType;	//假设边的权值类型为整型
    typedef struct
    {
        
    	VerTexType vexs[MVNum];	//顶点表
    	ArcType arcs[MVNum][MVNum];	//邻接矩阵
    	int vexnum, arcnum;	//图的当前顶点数和边数
    }AMGraph;

### 5、采用邻接矩阵表示法创建无向网 ###

> 【算法步骤】  
> 1、输入总顶点数和边数  
> 2、依次输入点的信息存入到顶点表中  
> 3、初始化邻接矩阵，使每个权值初始化为极大值  
> 4、构造邻接矩阵

*注意：  
1、无向图需要为arcs\[i\]\[j\]和arcs\[j\]\[i\]赋值  
2、有向图仅需为arcs\[i\]\[j\]赋值*

**算法描述：**

/*采用邻接矩阵表示法创建无向网*/
    Status CreateUDN(AMGraph& G)
    {
        
    	cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入总顶点数和总边数
    	for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)
    		cin >> G.vexs[i];//依次输入顶点的信息
    	for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵，边的权值均置为极大值
    		for (int j = 0;j < G.vexnum;++j)
    			G.arcs[i][j] = MaxInt;
    	for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)
    	{
        
    		cin >> v1 >> v2 >> w;//输入一条边依附的顶点和权值
    		i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G, v2);//确定两个顶点v1和v2在G中的位置
    		G.arcs[i][j] = w;//边<v1,v2>的权值置为w
    		G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];//置边<v1,v2>的对称点<v2,v1>的权值也为w
    	}
    	return OK;
    }
    /*在图中查找顶点的位置LocateVex()函数*/
    int LocateVex(AMGraph G, VertexType u)
    {
        //若在图中找到这个元素，则返回它的下标i,否则返回-1
    	int i;
    	for (i = 0;i < G.vexnum;++i)
    		if (u == G.vexs[i])
    			return i;
    	return -1;
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

## （二）邻接表（链式）表示法(Adjacency List） ##

**是图的链式存储结构，基本思想就是只存储图中存在的边的信息，对不相邻的顶点则不保留信息  
对图中每个顶点vi建立一个带头结点的单链表，把与vi相邻接的顶点放在这个链表中，一个单链表对应邻接矩阵中的一行，称为边链表。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]

### 1、无向图的邻接表表示 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]

### 2、有向图的邻接表表示 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

### 3、图的邻接表的存储定义 ###

**分三部分：  
1、图的结构定义  
2、顶点的头结点结构  
3、弧（边）的结点结构**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]

/*图的邻接表的存储定义*/
    //弧的结点结构
    #define MVNum 100	//最大的顶点数
    typedef struct ArcNode
    {
        
    	int adjvex;	//该边所指的顶点的位置
    	struct ArcNode* nextarc;	//指向下一条边的指针
    	OtherInfo info;	//和边相关的信息
    }ArcNode;
    //顶点的结点结构
    typedef struct VNode
    {
        
    	VertexType data;//顶点信息
    	ArcNode* firstarc;//指向第一条依附该顶点的边
    }VNode,AdjList[MVNum];//AdjList表示邻接表类型
    //AdjList v相当于VNode v[MVNum]
    
    //图的结构定义（邻接表）
    typedef struct
    {
        
    	AdjList vertices;//vertices是vertex的复数
    	int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和边数
    }ALGraph;
    
    /*说明*/
    ALGraph G;//定义了邻接表表示的图G
    G.vexnum = 5;G.arcnum = 6;//图G包含了5个顶点和6条边
    G.vertices[1].data = 'v2';//图G中第2个顶点是v2
    p = G.vertices[1].firstarc;//指针p指向顶点v2的第一个边结点
    p->adjvex = 4;//p指针所指边结点是到下标为4的结点的边

### 4、采用邻接表表示法创建无向图 ###

> 【算法步骤】  
> 1、输入总顶点数和总边数  
> 2、建立顶点表
> 
> > 1、依次输入点的信息存入顶点表中  
> > 2、使每个表头结点的指针域初始化为NULL
> 
> 3、创建邻接表
> 
> > 1、依次输入每条边依附的两个顶点  
> > 2、确定这两个顶点的序号i和j  
> > 3、将此边结点分别插入vi和vj对应的两个边链表的头部

/*采用邻接表表示法创建无向图*/
    Status CreateUDG(ALGraph& G)
    {
        //采用邻接表表示法，创建无向图G
    	cin >> G.vexnum >> G.arcnum;//输入顶点数和弧数
    	for (int i = 0;i < G.vexnum;++i)
    	{
        
    		cin >> G.vertices[i].data;//输入顶点值
    		G.vertices[i].firstarc = NULL;//初始化表头结点的指针域为NULL
    	}
    	for (int k = 0;k < G.arcnum;++k)//输入各边，构造邻接表，头插法
    	{
        
    		cin >> v1 >> v2;//输入一条边依附的两个顶点
    		i = LocateVex(G, v1);j = LocateVex(G.v2);
    		p1 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p1
    		p1->adjvex = j;//邻结点序号为j
    		p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;//firstarc为空，所以nextarc也指向空，即最后的一个结点
    		G.vertices[i].firstarc = p1;//将新结点*p1插入到顶点vi的边表头部
    		p2 = new ArcNode;//生成一个新的边结点*p2
    		p2->adjvex = i;
    		p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;//插入弧结点到单链表
    		G.vertices[j].firstarc = p2;//将新结点*p2插入到顶点vi的边表头部
    	}//头插法
    		return OK;
    }

![在这里插入图片描述][20201108135735494.png_pic_center]

### 5、邻接矩阵与邻接表的比较 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 13]  
**练习：画出有向图G的邻接矩阵、邻接表、逆邻接表**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 14]

## （三）十字链表(Orthogonal List) ##

**十字链表是有向图的另一种链式存储结构，可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 15]

### 1、弧结点的结构 ###

![在这里插入图片描述][2020110814182169.png_pic_center]  
**Tailvex:指示弧尾结点在图中的位置  
headtex:指示弧头顶点在图中的位置  
hlink:是指向弧头相同的下一条弧的指针  
tlink：是指向弧尾相同的下一条弧的指针  
Info:指向该弧的相关信息**

/*弧结点的结构*/
    typedef struct ArcBox
    {
        
    	int tailvex, headvex;//该弧的尾和头顶点的位置
    	struct ArcBox* hlink, * tlink;//分别为弧头相同和弧尾相同的弧的指针域
    	InfoType* info;//该弧相关信息的指针
    }ArcBox;

### 2、顶点结点的结构 ###

![20201108142653379.png_pic_center][]  
**每个顶点有一个结点，它相当于出边表和入边表的表头结点。数据成员data存放与该顶点的相关信息。链域firstin指示以该顶点为弧头的第一个弧结点。链域firstout指示以该结点为弧尾的第一个弧结点。**

/*顶点结点的结构*/
    typedef struct VexNode
    {
        
    	VertexType data;
    	ArcBox* firstin, * firstout;//分别指向该顶点第一条入弧和出弧
    }VexNode;
    //ArcBox为弧结点变量

### 3、图的结构定义 ###

/*图的结构定义*/
    typedef struct
    {
        
    	VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量
    	int vexnum, arcnum;//有向图的当前顶点数和弧数
    }OLGraph;

### 4、实例 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 16]

### 5、有向图G的十字链表 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 17]

## （四）邻接多重表(Adjacent MultiList) ##

**邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构，由于用邻接表存储无向图时，虽然容易求出顶点和边的各种信息，但在邻接表中每一条边有两个结点，分别在第i和j个链表中，给图的某些操作带来不便，在邻接多重表中，每一条边只有一个边结点，为有关的处理提供了方便。**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 18]

### 1、边结点的结构 ###

![在这里插入图片描述][20201108145212194.png_pic_center]**mark：为标志域，可用以标记该条边是否被搜索过  
ivex和jvex为该边依附的两个顶点在图中的位置  
ilink:指向下一条依附于顶点的ivex的边  
jlink:指向下一条依附于顶点jvex的边  
info:为指向和边相关的各种信息个指针域**

/*边结点结构*/
    typedef struct EBox
    {
        
    	VisitIf mark;//访问标志域
    	int ivex, jvex;//该边依附的两个顶点在表头数组中的位置
    	struct Ebox* ilink, * jlink;//分别指向依附于ivex和jvex的下一条边
    	InfoType* info;
    }EBox;

### 2、顶点结点的结构 ###

![在这里插入图片描述][20201108145857436.png_pic_center]

/*顶点结点的结构*/
    typedef struct VexBox
    {
        
    	VertexType data;//存与顶点相关的信息
    	EBox* firstedge;//指向第一条依附于该顶点的边
    }VexBox;

### 3、图的结构定义 ###

/*图的结构定义*/
    typedef struct
    {
        
    	VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];//表头向量
    	int vexnum, edgenum;//无向图的当前顶点数和弧数
    }OLGraph;
    //VexNode为顶点结点变量

### 4、实例 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 19]

### 4、练习：画出无向图G的邻接多重表 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 20]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221120/0ad1252a60714b889178b749997bf511.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221120/fed48441d8af4c96a52d0b53b2fe3c93.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221120/99c1084fe5c34764bfb1ca3a959bd34a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: /images/20221120/7322e29f6896482fa5af36d7933bac93.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: /images/20221120/d7dc141df6a4431f9959a276d02520d7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: /images/20221120/e439abebaf5c419aa77089b351dfdd58.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: /images/20221120/27a762d789fb4a6c8e3a041f8ce0ee1f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: /images/20221120/fad4cb2d007e439bb3f229505786a4fc.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ2NTE4NDYx_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]: /images/20221120/e113643b1e934f258bb8181e3e34670e.png
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