Modern Robotics正运动学（forward kinematics）

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-12-15 14:29 170阅读 0赞

# 机器人学之正运动学（forward kinematics） #

![在这里插入图片描述][20201018100238237.gif_pic_center]

## 关键概念 ##

*  对于一个开链机器人，给定一个固定参考系\{s\}和一个固定于连杆的连杆的坐标系\{b\}, 该坐标系表示机器人末端。正运动学(forward kinematics)是从关节变量 θ \\theta θ到坐标系\{b\}在坐标系\{s\}中的位置和方向的映射 T ( θ ) T(\\theta) T(θ)。
 *  开链机器人正运动学的D-H(Denavit\{Hartenberg )表示，是从固定于每个连杆的参考坐标系的相对位移描述的，若连杆坐标系标号为\{0\}， … \\dots … ，\{  n + 1 n+1 n\+1\}，\{0\}是固定坐标系\{s\}, \{  i i i\}是固定于连杆 i i i的关节 i ( i = 1 , … , n ) i(i=1,\\dots,n) i(i=1,…,n), \{  n + 1 n+1 n\+1\}是末端坐标系\{b\}, 那么正运动学表示为

T 0 , n + 1 ( θ ) = T 01 ( θ 1 ) … T n − 1 , n ( θ n ) T n , n + 1 T\_\{0,n+1\}(\\theta)=T\_\{01\}(\\theta\_1)\\ldots T\_\{n-1,n\}(\\theta\_n)T\_\{n,n+1\} T0,n\+1(θ)=T01(θ1)…Tn−1,n(θn)Tn,n\+1

这里 θ i \\theta\_i θi表示关节 i i i变量， T n , n + 1 T\_\{n,n+1\} Tn,n\+1表明末端坐标系在坐标系\{n\}中的构型。如果末端坐标系\{b\}选择与坐标系\{n\}重合，我们可以省掉坐标系\{n+1\}.

*  D-H(Denavit\{Hartenberg )约定分配给每个连杆的参考坐标系遵循严格的规定。根据规定，连杆坐标系\{  i − 1 i-1 i−1\}和\{  i i i\}之间坐标系变换只用4个参数进行参数化，即D-H参数。其中三个参数描述运动机构，第4个参数是关节变量。表示两个连杆间的变换需要的最少参数是4个。
 *  正运动学也可以表示成如下的指数积（空间形式）

T ( θ ) = e \[ S 1 \] θ 1 … e \[ S n \] θ n M , T(\\theta)=e^\{\[\\mathcal S\_1\]\\theta\_1 \}\\ldots e^\{\[\\mathcal S\_n\]\\theta\_n\}M, T(θ)=e\[S1\]θ1…e\[Sn\]θnM,

这里 S i = ( ω i , v i ) \\mathcal S\_i=(\\omega\_i,v\_i) Si=(ωi,vi)是沿关节 i i i正向运动的螺旋轴在固定系坐标\{s\}中表达， θ i \\theta\_i θi是关节 i i i的变量， M ∈ S E ( 3 ) M\\in SE(3) M∈SE(3)表示机器人末端坐标系\{b\}的零位(初始位置)。这不需要分别定义每个连杆坐标系，只需要定义 M M M和螺旋轴 S 1 , … , S n \\mathcal S\_1,\\dots, \\mathcal S\_n S1,…,Sn。

*  指数积公式也可以等效地写为物体坐标系形式

T ( θ ) = M e \[ B 1 \] θ 1 … e \[ B 2 \] θ n , T(\\theta)=Me^\{\[\\mathcal B\_1\] \\theta\_1\}\\ldots e^\{\[\\mathcal B\_2\]\\theta\_n\}, T(θ)=Me\[B1\]θ1…e\[B2\]θn,

这里 B i = \[ A d M − 1 \] S i , i = 1 , … , n ; B i = ( ω i , v i ) \\mathcal B\_i=\[Ad\_\{M^\{-1\}\}\]S\_i, i=1, \\dots, n; \\mathcal B\_i=(\\omega\_i,v\_i) Bi=\[AdM−1\]Si,i=1,…,n;Bi=(ωi,vi) 是关节 i i i的螺旋轴在初始状态在坐标系\{b\}中的表达。

*  通用机器人描述格式(URDF)是一种文件格式，机器人操作系统(ROS)和其他软件使用它描述机器人的运动学，惯性，视觉特性等信息，这种格式用于一般包含母连杆和子连杆的树形机器人，包括开链机构。

## 指数积公式的算法实现 ##

该部分主要包括两个公式的实现，

*  一个是空间形式的: T = FKinSpace(M,Slist,thetalist) , 给定末端在初始构型M和螺旋轴Blist在固定坐标系的表达，以及关节变量thetalist，计算末端在固定坐标系的构型。
 *  一个是物体坐标系形式的: T = FKinBody(M,Blist,thetalist) , 给定末端在初始构型M和螺旋轴Blist在物体坐标系的表达，以及关节变量thetalist，计算末端在物体坐标系的构型。

实现代码用到了上一篇博客的刚体运动算法，代码较长，就不放在这里了。下面只列出两个公式的实现代码。代码不断更新迭代，完整的最新源码放在github–[链接][Link 1]

/** * @brief Description: Algorithm module of robotics, according to the * book[modern robotics : mechanics, planning, and control]. * @file: RobotAlgorithmModule.c * @author: LiBing * @date: 2019/03/01 12:23 * Copyright(c) 2019 LiBing. All rights reserved. * https://blog.csdn.net/libing403 * Contact 1540845930@qq.com * @note: * @warning: */
    
    #include "RobotAlgorithmModule.h"
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <stdio.h>
    /** *@brief Description: Computes the end-effector frame given the zero position of the end-effector M, * the list of joint screws Slist expressed in the fixed-space frame, and the list of joint values thetalist. *@param[in] M the zero position of the end-effector expressed in the fixed-space frame. *@param[in] Joint Num the number of joints. *@param[in] Slist the list of joint screws Slist expressed in the fixed-space frame. * in the format of a matrix with the screw axes as the column. *@param[in] thetalist the list of joint values. *@param[out] T the end-effector frame expressed in the fixed-space frame. *@return No return value. *@note: when Slist is a matrix ,make sure that columns number of Slist is equal to JointNum, * rows number of Slist 6 .The function call should be written as * FKinBody(...,(double *)Slist,...). *@waring: */
    void FKinSpace(double M[4][4],int  JointNum,double *Slist, double *thetalist,double T[4][4])
    { 
    	int i, j, k, l;
    	double se3mat[4][4];
    	double T2[4][4];
    	double exp6[4][4];
    	double V[6];
    	Matrix4Equal(M, T);
    	for (i= JointNum-1;i>=0;i--)
    	{ 
    		for (l=0;l<6;l++)
    		{ 
    			V[l] = Slist[l*JointNum+i];//get each column of Slist.
    		}
    		VecTose3(V, se3mat);
    		for (j=0;j<4;j++)
    		{ 
    			for (k=0;k<4;k++)
    			{ 
    				se3mat[j][k] = se3mat[j][k] * thetalist[i];
    			}
    		}
    		MatrixExp6(se3mat, exp6);
    		Matrix4Mult(exp6, T, T2);
    		Matrix4Equal(T2, T);
    	}
    	return ;
    }
    
    /** *@brief Description:Computes the end-effector frame given the zero position of the end-effector M, * the list of joint screws Blist expressed in the end-effector frame, and the list of joint values thetalist. *@param[in] M the zero position of the end-effector expressed in the end-effector frame. *@param[in] JointNum the number of joints. *@param[in] Blist the list of joint screws Slist expressed in the end-effector frame. * in the format of a matrix with the screw axes as the column. *@param[in] thetalist the list of joint values. *@param[out] T the end-effector frame expressed in the end-effector frame. *@return No return value. *@note: when Blist is a matrix ,make sure that columns number of Slist is equal to JointNum, * rows number of Slist 6 .The function call should be written as * FKinBody(...,(double *)Blist,...). *@waring: */
    void FKinBody(double M[4][4], int  JointNum, double *Blist, double thetalist[], double T[4][4])
    { 
    	int i, j, k, l;
    	double se3mat[4][4];
    	double T2[4][4];
    	double exp6[4][4];
    	double V[6];
    	Matrix4Equal(M, T);
    	for (i = 0; i < JointNum ; i++)
    	{ 
    		for (l = 0; l < 6; l++)
    		{ 
    			V[l] = Blist[l*JointNum + i];//get each column of Slist.
    		}
    		VecTose3(V, se3mat);
    		for (j = 0; j < 4; j++)
    		{ 
    			for (k = 0; k < 4; k++)
    			{ 
    				se3mat[j][k] = se3mat[j][k] * thetalist[i];
    			}
    		}
    		MatrixExp6(se3mat, exp6);
    		Matrix4Mult(T, exp6, T2);
    		Matrix4Equal(T2, T);
    	}
    	return ;
    }

参考文献

Kenvin M. Lynch , Frank C. Park, Modern Robotics Mechanics,Planning , and Control. May 3, 2017

[20201018100238237.gif_pic_center]: /images/20221123/d3880095e2d04d1ca3cb76c2dbc25099.png
[Link 1]: https://github.com/libing403/RoboticsAlgorithm