二进制

秒速五厘米 2022-12-13 01:40 171阅读 0赞

## 概念： ##

二进制（binary）在数学和数字电路中指以2为基数的记数系统，以2为基数代表系统是二进位制的。这一系统中，通常用两个不同的符号0和1 来表示 。数字电子电路中，逻辑门的实现直接应用了二进制，因此现代的计算机和依赖计算机的设备里都用到二进制。每个数字称为一个比特（Bit，Binary digit的缩写） 。

#### 进制： ####

在基数b的位置记数系统(其中b是一个正自然数，叫做基数)，b个基本符号(或者叫数字)对应于包括0的最小b个自然数。 要产生其他的数，符号在数中的位置要被用到。最后一位的符号用它本身的值，向左一位其值乘以b。一般来讲，若b是基底，我们在b进制系统中的数表示为 ：![在这里插入图片描述][20201009115159877.png_pic_center]  
并按次序写下数字a0a1a2a3…ak。这些数字是0到b-1的自然数 。

一般来讲，b进制系统中的数有如下形式：  
![在这里插入图片描述][20201009114945410.png_pic_center]  
b的k次方和b的负k次方 是相应数字的比重

#### 二进制计数： ####

17世纪至18世纪的德国数学家莱布尼茨，是世界上第一个提出二进制记数法的人。用二进制记数，只用0和1两个符号，无需其他符号

二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为2²、2¹、2º、 、 。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：  
![在这里插入图片描述][20201009115505575.png_pic_center]

二进制数据一般可写为：  
![在这里插入图片描述][20201009115854337.png_pic_center]

例子：  
将二进制数据111.01写成加权系数的形式

![在这里插入图片描述][20201009144651659.png_pic_center]

#### 二进制运算 ####

##### 加法： #####

*  0 + 0 = 0
 *  0 + 1 = 1
 *  1 + 0 = 1
 *  1 + 1 = 10（0进阶为1）

##### 乘法： #####

*  0 \* 0 = 0
 *  0 \* 1 = 0
 *  1 \* 0 = 0
 *  1 \* 1 = 1

##### 减法： #####

*  0 - 0 = 0
 *  0 - 1 = 1
 *  1 - 0 = 1
 *  1 - 1 = 0

##### 除法： #####

*  0 / 1 = 0
 *  1 / 1 = 1

##### 例：两个二进制数1001与0101的算数运算可表示为： #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

## 进制转换 ##

#### 二进制转换为十进制 ####

方法：“按权展开求和”，该方法的具体步骤是先将二进制的数写成加权系数展开式，而后根据十进制的加法规则进行求和

例：  
![在这里插入图片描述][20201009150305171.png_pic_center]  
规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，…，依次递增，而十分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，…，依次递减。

#### 十进制转换为二进制 ####

一个十进制数转换为二进制数要分整数部分和小数部分分别转换，最后再组合到一起

整数部分采用 "除2取余，逆序排列"法。具体做法是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为小于1时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来

例：125转换为二进制  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

小数部分要使用“乘 2 取整法”。即用十进制的小数乘以 2 并取走结果的整数(必是 0 或 1)，然后再用剩下的小数重复刚才的步骤，直到剩余的小数为 0 时停止，最后将每次得到的整数部分按先后顺序从左到右排列即得到所对应二进制小数。

例，将十进制小数 0.8125 转换成二进制小数：  
![在这里插入图片描述][20201009150945297.png_pic_center]

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