二叉平衡树（AVL树）

小鱼儿 2022-12-12 15:03 293阅读 0赞

# 平衡二叉树定义 #

平衡二叉树 全称叫做 `平衡二叉搜索（排序）树`，简称 AVL树。英文：Balanced Binary Tree （BBT），注：二叉查找树(BST)

AVL 什么意思？  
AVL 是大学教授 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名称的缩写，他们提出的平衡二叉树的概念，为了纪念他们，将 平衡二叉树 称为 AVL树。

AVL树本质上是一颗二叉查找树，但是它又具有以下特点：

*  它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，
 *  左右两个子树 也都是一棵平衡二叉树。
 *  在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别为 1 ，所以它也被称为平衡二叉树 。

## 这货还是不是平衡二叉树？ ##

判断一棵平衡二叉树（AVL树）有如下必要条件：

*  条件一：必须是二叉搜索树。
 *  条件二：每个节点的左子树和右子树的高度差至多为1。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

## 平衡因子 ##

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度。  
即： **结点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度**。

**在 AVL树中，所有节点的平衡因子都必须满足： -1<=bf<=1;**

*  红黑树中，通过红色节点和黑色节点作为辅助，来判断一颗二叉树是否相对平衡  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]
 *  AVL树当中，我们通过“平衡因子”来判断一颗二叉树是否符合高度平衡。只有当二叉树所有结点的平衡因子都是-1, 0, 1这三个值的时候，这颗二叉树才是一颗合格的AVL树。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

当插入或者删除节点时，会改变父节点的平衡因子  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
上图原本是一个平衡的AVL树，当插入了新结点1时，父结点2的平衡因子变成了1，祖父结点4的平衡因子变成了2。

最小不平衡子树：距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树。

# 如何保持平衡二叉树平衡？ #

当插入或者删除节点的时候，可能打破avl树的平衡。  
我们 可以通过旋转使之变平衡。有两种基本的旋转：

## 两种基本操作 ##

### 左旋 ###

![在这里插入图片描述][20201007185325198.gif_pic_center]

### 右旋 ###

![在这里插入图片描述][20201008170255712.gif_pic_center]

那avl树什么时候进行左旋，什么时候进行右旋呢？

## 四种情况 ##

有四种插入情况可能导致二叉查找树不平衡，分别为：

*  LL：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由1变为2
 *  RR：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由-1变为-2
 *  LR：插入一个新节点到根节点的左子树（Left）的右子树（Right），导致根节点的平衡因子由1变为2
 *  RL：插入一个新节点到根节点的右子树（Right）的左子树（Left），导致根节点的平衡因子由-1变为-2

### LL ###

### 示例1 ###

左左情况下，插入新数据1 时，进行右旋操作：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

### 示例2 ###

插入 节点2后，进行右旋转：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

### 示例3 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

/**
         * 进行一次单右旋转
         *
         * @param node 最小失衡树根节点
         */
        private AVLTreeNode<T> rightRotation(AVLTreeNode<T> node) {
        
            AVLTreeNode<T> left = node.left;
            node.left = left.right;
            left.right = node;
            // 更新高度
            node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
            left.height = Math.max(height(left.left), height(left.right)) + 1;
            return left;
        }

### RR ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

/**
         * 进行一次单左旋转
         *
         * @param node 最小失衡树根节点
         */
        private AVLTreeNode<T> leftRotation(AVLTreeNode<T> node) {
        
            AVLTreeNode<T> right = node.right;
            node.right = right.left;
            right.left = node;
    
            // 更新高度
            node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
            right.height = Math.max(height(right.left), height(right.right)) + 1;
    
            return right;
    
        }

### RL ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]

/**
         * 先右旋后左旋
         *
         * @param node 失衡树根节点
         * @return 旋转后的根节点
         */
        private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> node) {
        
            node.right = rightRoation(node.right);
    
            return leftRoation(node);
    
        }

### LR ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]

/**
         * 先左旋后右旋
         *
         * @param node 失衡树根节点
         * @return 旋转后的根节点
         */
        private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> node) {
        
            node.left = leftRoation(node.left);
    
            return rightLeftRoation(node);
    
        }

树的高度和深度本质区别：深度是从根节点数到它的叶节点，高度是从叶节点数到它的根节点。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]

# 代码实现 #

## 实现一\[待续\] ##

package main
    
    import (
    	"fmt"
    )
    
    func abs(i int) int {
        
    	if i < 0 {
        
    		return -i
    	}
    	return i
    }
    
    func max(a, b int) int {
        
    	if a > b {
        
    		return a
    	}
    	return b
    }
    
    
    type AvlNode struct {
        
    	key    Hashable
    	value  interface{
        }
    	height int
    	left   *AvlNode
    	right  *AvlNode
    }
    
    func (self *AvlNode) Key() Hashable{
        
    	return self.key
    }
    func (self *AvlNode) Value() interface{
        } {
        
    	return self.value
    }
    func (self *AvlNode) Height() int {
        
    	if self == nil {
        
    		return 0
    	}
    	return self.height
    }
    func (self *AvlNode) Size() int {
        
    	if self == nil {
        
    		return 0
    	}
    	return 1 + self.left.Size() + self.right.Size()
    }
    
    
    func (self *AvlNode) Has(key Hashable) (has bool) {
        
    	if self == nil {
        
    		return false
    	}
    	if self.key.Equals(key) {
        
    		return true
    	} else if key.Less(self.key) {
        
    		return self.left.Has(key)
    	} else {
        
    		return self.right.Has(key)
    	}
    }
    
    func (self *AvlNode) Get(key Hashable)(value interface{
        }, err error){
        
    	if self == nil {
        
    		return nil, fmt.Errorf("Key '%v' was not found.", key)
    	}
    
    	if self.key.Equals(key) {
        
    		return self.value, nil
    	}else if key.Less(self.key) {
        
    		return self.left.Get(key)
    	}else {
        
    		return self.right.Get(key)
    	}
    }
    
    func (self *AvlNode) pop_node(node *AvlNode) *AvlNode {
        
    	if node == nil {
        
    		panic("node can't be nil")
    	} else if node.left != nil && node.right != nil {
        
    		panic("节点不能同时具有left和right")
    	}
    
    	if self == nil {
        
    		return nil
    	}else if self == node {
        
    		var n *AvlNode
    		if node.left != nil {
        
    			n = node.left
    		}else if node.right != nil {
        
    			n = node.right
    		}else{
        
    			n = nil
    		}
    
    		node.left = nil
    		node.right = nil
    		return n;
    	}else{
        
    		if node.key.Less(self.key) {
        
    			self.left = self.left.pop_node(node)
    		}else {
        
    			self.right = self.right.pop_node(node)
    		}
    
    		self.height = max(self.left.Height(), self.right.Height()) + 1
    		return self
    	}
    }
    
    
    func (self *AvlNode) push_node(node *AvlNode) *AvlNode {
        
    	if node == nil {
        
    		panic("node can't be nil")
    	} else if node.left != nil || node.right != nil {
        
    		panic("node只能作为叶子节点")
    	}
    
    	if self == nil {
        
    		node.height = 1
    		return node
    	}else{
        
    		if node.key.Less(self.key) {
        
    			self.left = self.left.push_node(node)
    		}else{
        
    			self.right = self.right.push_node(node)
    		}
    
    		self.height = max(self.left.Height(), self.right.Height()) + 1
    		return self
    	}
    
    }
    
    
    
    func (self *AvlNode) _md(side func(*AvlNode) *AvlNode) *AvlNode {
        
    	if self == nil {
        
    		return nil
    	} else if side(self) != nil {
        
    		return side(self)._md(side)
    	} else {
        
    		return self
    	}
    }
    
    // 一直往左边走，直到找到最下面的节点（该节点没有左孩子），返回返回这个节点
    func (self *AvlNode) lmd() *AvlNode {
        
    	return self._md(
    		func(node *AvlNode) *AvlNode {
        
    		return node.left
    	})
    }
    
    // 一直往右边走，直到找到最下面的节点（该节点没有右孩子），返回返回这个节点
    func (self *AvlNode) rmd() *AvlNode {
        
    	return self._md(
    		func(node *AvlNode) *AvlNode {
        
    			return node.right
    		})
    }
    
    
    func (self *AvlNode) rotate_right() *AvlNode {
        
    	if self == nil {
        
    		return self
    	}
    	if self.left == nil {
        
    		return self
    	}
    	new_root := self.left.rmd()
    	self = self.pop_node(new_root)
    	new_root.left = self.left
    	new_root.right = self.right
    	self.left = nil
    	self.right = nil
    	return new_root.push_node(self)
    }
    
    func (self *AvlNode) rotate_left() *AvlNode {
        
    	if self == nil {
        
    		return self
    	}
    	if self.right == nil {
        
    		return self
    	}
    	new_root := self.right.lmd()
    	self = self.pop_node(new_root)
    	new_root.left = self.left
    	new_root.right = self.right
    	self.left = nil
    	self.right = nil
    	return new_root.push_node(self)
    }
    
    func (self *AvlNode) balance() *AvlNode {
        
    	if self == nil {
        
    		return self
    	}
    
    	for abs(self.left.Height()-self.right.Height()) > 2 {
        
    		if self.left.Height() > self.right.Height() {
        
    			self = self.rotate_right()
    		} else {
        
    			self = self.rotate_left()
    		}
    	}
    
    
    	return self
    }
    // 即使是self为nil，只要它是*AvlNode，就可以调用Put函数
    func (self *AvlNode) Put(key Hashable, value interface{
        }) (_ *AvlNode, updated bool) {
        
    	if self == nil {
        
    		return &AvlNode{
        key: key, value: value, height: 1}, false
    	}
    
    	if self.key.Equals(key) {
        
    		self.value = value
    		return self, true
    	}
    
    	if key.Less(self.key) {
        
    		self.left, updated = self.left.Put(key, value)
    	} else {
        
    		self.right, updated = self.right.Put(key, value)
    	}
    	if !updated {
        
    	//-----------------------------
    		return self.balance(), updated
    	}
    	return self, updated
    }

## immutable AVL tree. ##

interface.go

type Entry interface {
        
    	Compare(entry Entry)int
    }
    
    type Entries []Entry

mock\_test.go

type mockEntry int
    
    func (me mockEntry)Compare(other Entry) int  {
        
    	otherMe := other.(mockEntry)
    	if me > otherMe {
        
    		return 1
    	}
    
    	if me < otherMe {
        
    		return -1
    	}
    
    
    	return 0
    }

node.go

package main
    
    type node struct {
        
    	balance   int8 // bounded, |balance| should be <= 1
    	children  [2]*node
    	entry     Entry
    }
    
    
    // copy返回此节点的副本，其中包含指向原始子节点的指针
    func (n *node) copy() *node {
        
    	return &node{
        
    		balance:  n.balance,
    		children: [2]*node{
        n.children[0], n.children[1]},
    		entry:    n.entry,
    	}
    }
    
    //newNode为提供的条目返回一个新节点。nil条目用于表示虚拟节点。
    func newNode(entry Entry) *node {
        
    	return &node{
        
    		entry:    entry,
    		children: [2]*node{
        },
    	}
    }

node\_test.go

import (
    	"github.com/stretchr/testify/assert"
    	"testing"
    )
    
    func TestNode(t *testing.T)  {
        
    	node1 := newNode(mockEntry(1))
    	node1.children[0] = newNode(mockEntry(1))
    	node1.children[1] = newNode(mockEntry(2))
    
    	// node1和node2所代表的内存地址不同，但是指向相同的孩子内存
    	node2 := node1.copy()
    
    	assert.Equal(t, &node1.children[0], &node2.children[0])
    
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]

avl.go

// Immutable树通过复制分支来实现
    type Immutable struct {
        
    	root    *node
    	number  uint64
    	dummy   node   // helper for inserts.
    }
    
    func (immutable *Immutable) init() {
        
    	immutable.dummy = node{
        
    		children: [2]*node{
        },
    	}
    }
    func NewImmutable() *Immutable {
        
    	immutable := &Immutable{
        }
    	immutable.init()
    	return immutable
    }

https://www.cnblogs.com/54chensongxia/p/11575467.html  
https://my.oschina.net/u/4543837/blog/4382955  
https://www.sohu.com/a/270452030\_478315  
https://blog.csdn.net/xiaojin21cen/article/details/97602146  
https://blog.csdn.net/qq\_25343557/article/details/89110319  
https://blog.csdn.net/weixin\_36888577/article/details/87211314  
https://www.cnblogs.com/yichunguo/p/12040456.html

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poaXpoZW5nZ3Vhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221123/37a044a7fad943b0b0a0a5f33a3cd2e9.png
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