算法训练最大最小公倍数已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。

╰半夏微凉° 2022-12-12 13:49 73阅读 0赞

## 问题描述 ##

已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。  
**输入格式**

输入一个正整数N。  
**输出格式**  
输出一个整数，表示你找到的最小公倍数。  
**样例输入**  
9  
**样例输出**  
504  
**数据规模与约定**

1 <= N <= 10^6。

## 思路 ##

本来想的草率了，只想着在1-N之间组合3个数，依次算出来每个组合的最大最小公倍数，但是发现不行…这样复杂度太高了，根本运行不出来…但是题目中给的较小数字的例子是可以运行出来的~~

代码是这样的（错误示范）：

#include <stdio.h>
    long long f(int a,int b,int c)
    { 
    	int i;
    	int area = 1;
    	for(i=2;i<=a;i++)
    	{ 
    		if(a%i==0 && b%i==0 && c%i==0)
    		{ 
    			a/=i;
    			b/=i;
    			c/=i;
    		}
    		else if(a%i==0 && b%i==0)
    		{ 
    			a/=i;
    			b/=i;
    		}
    		else if(a%i==0 && c%i==0)
    		{ 
    			a/=i;
    			c/=i;
    		}
    		else if(b%i==0 && c%i==0)
    		{ 
    			b/=i;
    			c/=i;
    		}
    		else
    			continue;
    	}
    	return a*b*c;
    }
    int main ()
    { 
    	int n;
    	long long max=1;
    	scanf("%d",&n);
    	int i,j,k,l;
    	for(i=n;i>=1;i--)
    	{ 
    		for(j=i-1;j>=1;j--)
    		{ 
    			for(k=j-1;k>=1;k--)
    			{ 
    				if(f(i,j,k)>max)
    					max=f(i,j,k);
    			}
    		}
    	}
    	printf("%lld",max);
    	return 0;
     }

**经过研究博客里大佬的思路，总结这道题的解法如下：**

在一组数中找三个数，使他们的最小公倍数最大，我们知道，**两个数的最小公倍数在最大的情况就是当两个数互质的时候，他们的最小公倍数就是这两个数的乘积，而且还有那么一个定理，即两个相邻的自然数互质**，即使我们不知道定理怎么证明，但大体能想出来，但这是三个数，也就是说存在 奇-偶-奇 和 偶-奇-偶 两种情况。

**一：** 奇-偶-奇 这种情况用于n是奇数的情况，即 最大的三个数就是 n，n-1，n-2，那么可以看到，因为n和n-2都是奇数，所以肯定不存在公因数2，假设三个数中有一个存在因数3，那么另外两个肯定不存在因数3，因为他们的变化范围都小于3，也就是说，这三个数不仅是最大的，还是互质的，也就是说最大的最小公倍数就是这三个数的乘积，即n\*（n-1）\*（n-2）相信大部分人都可以想到这一步

**二：** 偶-奇-偶 对于这种情况两个偶数肯定是存在公因数2，也就是意味着最小公倍数要除以2，这是绝对不能容忍的，所以我们稍微缩小一下数，即n，n-1，n-3，这样就又变成奇-偶-奇的结构了，但还有一个问题，就是假如偶数n存在因数3，那么n-3也必定有因数3，这直接导致最小公倍数除以3，更加不能容忍，为了保持奇-偶-奇的结构不变，只能变那个偶数，而离他最近的偶数就是n-2了，这下就完美了，3个数依然是互质的，最小公倍数就是（n-1）*（n-2）*（n-3）

代码~：

#include <stdio.h>
    int main()
    { 
    	long long n,ans;
    	scanf("%lld",&n);
    	if(n%2==1)
    		ans=n*(n-1)*(n-2);
    	else
    	{ 
    		if(n%3==0)
    			ans=(n-1)*(n-2)*(n-3);
    		else
    			ans=n*(n-1)*(n-3);
    	}
    	printf("%lld",ans);
    	return 0;
    }