复旦大学961-数据结构-第三章-查找（1）-查找的基本概念；对线性关系结构的查找,顺序查找,二分查找

系统管理员 2022-12-11 13:55 165阅读 0赞

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### 文章目录 ###

*  查找的基本概念
 *  对线性关系结构的查找
 *   *  无序表顺序查找
     *  有序表的顺序查找
     *  二分查找（折半查找）
     *   *  判定树
         *  二分查找Java代码（非递归）
         *  二分查找Java代码（递归）

# 查找的基本概念 #

1.  查找：从一组数据集合中找出符合要求的数据，这个过程称为**查找**，有两种情况，**查找成功**和**查找失败**
2.  查找表：用于查找的数据集合称为**查找表**，由同一种数据类型组成。可以是数组或链表等数据类型。一般包括四种操作：增删改查。
3.  静态查找表：如果对于一个表，只对该查找表进行查找操作，则称为**静态查找表**。若对该表进行增删改操作，则该表称为**动态查找表**
4.  关键字：数据元素中唯一表示该数据的项的值。使用基于关键字的查找，查找结果应该是唯一的（其实可以不唯一，但只能返回一个），如学生表中的学号。
5.  平均查找长度：在查找过程中，一次查找的长度是指在一次查找过程中，要进行关键字比较的次数。平均查找长度(Average search length)是指在所有的查找中关键字比较次数的平均值，公式为：  
     A S L = ∑ i = 1 n P i C i ASL = \\sum\_\{i=1\}^n P\_iC\_i ASL=i=1∑nPiCi  
    其中，n是查找表的长度，Pi 是第i个元素被查找的概率，一般认为每个元素被查找的概率相等，所以Pi = 1/n 。Ci 是查找第i个元素需要比较的次数。

# 对线性关系结构的查找 #

## 无序表顺序查找 ##

/** * 依次遍历，若找到，返回数组下标，若没找到，则返回-1 */
    public static int indexOf(Object[] array, Object x) { 
        if (array == null) return -1;
        for (int i = 0; i < array.length; i++) { 
            if (array[i] == x) return i;
        }
        return -1;
    }

平均查找长度的计算  
 A S L 成 功 = 1 + 2 + ⋯ + n n = 1 + n 2 ASL\_\{成功\} = \\frac\{1 + 2 + \\cdots + n \}\{n\} = \\frac\{1+n\}\{2\} ASL成功=n1\+2\+⋯\+n=21\+n  
查找不成功时，显然要与所有的元素都对比，所以ASL(失败) = n

## 有序表的顺序查找 ##

有序表和无序表不一样的地方在于，若比对过程中，如果要查找的元素已经小于当前所在的元素时（假设从小到大），就不用比对后面的了，可以直接返回查找失败。所以对于成功的平均查找长度没有改变，但失败的平均查找长度变小了。

A S L 失 败 = 1 + 2 + ⋯ + n + n n + 1 = n 2 + n n + 1 \\begin\{aligned\} & \\\\ & ASL\_\{失败\} = \\frac\{1+2+\\cdots + n + n\}\{n+1\} = \\frac\{n\}\{2\} + \\frac\{n\}\{n+1\} \\end\{aligned\} ASL失败=n\+11\+2\+⋯\+n\+n=2n\+n\+1n  
公式解释：对于具有n个元素的有序表，共有n+1种查找失败的情况（假设每个查找失败的情况概率相同）。所以分母是n+1。具体参见以下表格进行理解（假设n=4）：

如上述该表格，有序表的元素分别为(1,2,3,4)，所以查找失败的情况有五种，即第二行的五种。每种的对比次数分别是1,2,3,4,4。查找元素区间(3,4)时与4对比，当查找区间(4,+∞)时，也是与4对比，因为4后面没有元素了，所以与4对比完就会直接跳出循环。所以该表的查找失败的平均查找长度为：  
 A S L 失 败 = 1 + 2 + 3 + 4 + 4 4 + 1 = 14 5 ASL\_\{失败\} = \\frac\{1+2+3 + 4 + 4\}\{4+1\} = \\frac\{14\}\{5\} ASL失败=4\+11\+2\+3\+4\+4=514

Java代码为：

/** * 依次遍历，用x与数组中元素比较，若相等，则返回数组下标。若大于，则继续遍历，若小于，直接返回-1 * 默认该数组是从小到大排序的 */
    public static int indexOf(Comparable[] arrays, Object x) { 
        if (arrays == null) return -1;
        for (int i = 0; i < arrays.length; i++) { 
            int result = arrays[i].compareTo(x);
            if (result == 0) return i; // 如果相等，则返回数组下标
            else if (result > 0) return -1; // 如果x<arrays[i]，说明后面的数据都大于x，不用对比了，直接返回-1
            // 如果x>arrays[i]，则什么都不做，进行下一轮循环
        }
        return -1;
    }

## 二分查找（折半查找） ##

二分查找仅适用于①顺序存储（数组），②有序表。  
基本思想为：先对比数组最中间的元素，若小于该元素（大于时同理）。则递归的对比左边的中间的元素，然后依次递归，直到查找到或查找失败。

其查找成功和查找失败的平均时间复杂度为 O ( log ⁡ 2 n ) O(\\log\_2 n) O(log2n)

### 判定树 ###

假设有一个有序表(7,10,13,16,19,29,32,33,37,41,43)，将其画成**判定树**就是如下的形式：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
具体画法为：

1.  取中间元素（向下取整）作为根节点，然后其左边的元素和右边的元素分别作为其左子树和右子树
2.  对左子树和右子树分别进行1中的递归操作。直到所有的节点都被画到树中

根据该判定树，可以很容易的推出二分查找成功的平均查找长度，推导过程见如下表格：

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>层数</th> 
   <th>该层元素个数</th> 
   <th>匹配成功该层元素的对比次数</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>1</td> 
   <td>2^0=1</td> 
   <td>1</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2</td> 
   <td>2^1=2</td> 
   <td>2</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3</td> 
   <td>2^2=4</td> 
   <td>3</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>h</td> 
   <td>2^(h-1)</td> 
   <td>h</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

所以，成功的平均查找长度为：  
 A S L 成 功 = 1 × 2 0 + 2 × 2 1 + 3 × 2 2 + ⋯ + h × 2 h − 1 n = n + 1 n log ⁡ 2 ( n + 1 ) − 1 ≈ log ⁡ 2 ( n + 1 ) − 1 ASL\_\{成功\} = \\frac\{1\\times2^0 + 2 \\times 2^1 + 3 \\times 2 ^2 + \\cdots + h\\times 2^\{h-1\}\}\{n\} = \\frac\{n+1\}\{n\} \\log\_2 (n+1) - 1 \\approx \\log\_2(n+1) - 1 ASL成功=n1×20\+2×21\+3×22\+⋯\+h×2h−1=nn\+1log2(n\+1)−1≈log2(n\+1)−1  
其中n为节点的总数。

### 二分查找Java代码（非递归） ###

public static int binarySearch(Comparable[] arrays, Object x) { 
        if (arrays == null) return -1;
        int left = -1;  // 记录左边界，若这里使用0，则后面都需要相应的改变
        int right = arrays.length; // 记录右边界
        while (left < right - 1) {  // 当左边界与右边界重合或大于右边界或两个挨着时，查找失败，退出循环
            int mid = (left + right) / 2;
            int result = arrays[mid].compareTo(x);
            if (result == 0) return mid; // 查找成功
            else if (result > 0) right = mid; // x在mid的左边，所以缩短右边界
            else left = mid; // x在mid的右边，所以缩短左边界
        }
        return -1; //查找失败
    }

### 二分查找Java代码（递归） ###

private static int binarySearch(Comparable[] arrays, Object x, int left, int right) { 
        if (left > right) return -1;  // 若左边界大于右边界，则说明查找失败
        int mid = (left + right) / 2; 
        int result = arrays[mid].compareTo(x); 
        if (result == 0) return mid;  // 查找成功，返回数组下标
        else if (result > 0) return binarySearch(arrays, x, left, mid - 1); // x在左边，缩小右边界
        else return binarySearch(arrays, x, mid + 1, right); // x在右边，缩小左边界
    }
    
    private static int binarySearch(Comparable[] arrays, Object x) { 
        if (arrays == null) return -1;
        return binarySearch(arrays, x, 0, arrays.length - 1); // 定义边界为 [0,n-1]，n为数组长度
    }

[961]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/111414370
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