【leetcode.547】朋友圈(形象生动讲解并查集)

r囧r小猫 2022-12-11 04:24 150阅读 0赞

本文转载自[Union-Find 算法详解][Union-Find]

今天讲讲 Union-Find 算法，也就是常说的并查集算法，主要是解决图论中「动态连通性」问题的。名词很高端，其实特别好理解，等会解释，另外这个算法的应用都非常有趣。

说起这个 Union-Find，应该算是我的「启蒙算法」了，因为《算法4》的开头就介绍了这款算法，可是把我秀翻了，感觉好精妙啊！后来刷了 LeetCode，并查集相关的算法题目都非常有意思，而且《算法4》给的解法竟然还可以进一步优化，只要加一个微小的修改就可以把时间复杂度降到 O(1)。

废话不多说，直接上干货，先解释一下什么叫动态连通性吧。

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### 一、问题介绍 ###

简单说，动态连通性其实可以抽象成给一幅图连线。比如下面这幅图，总共有 10 个节点，他们互不相连，分别用 0~9 标记：

![388a44b1d8aaeace95363462a1800c26.png][]

现在我们的 Union-Find 算法主要需要实现这两个 API：

class UF {
        /* 将 p 和 q 连接 */
        public void union(int p, int q);
        /* 判断 p 和 q 是否连通 */
        public boolean connected(int p, int q);
        /* 返回图中有多少个连通分量 */
        public int count();
    }

这里所说的「连通」是一种等价关系，也就是说具有如下三个性质：

1.  自反性：节点p和p是连通的。
2.  对称性：如果节点p和q连通，那么q和p也连通。
3.  传递性：如果节点p和q连通，q和r连通，那么p和r也连通。

比如说之前那幅图，0～9 任意两个不同的点都不连通，调用connected都会返回 false，连通分量为 10 个。

如果现在调用union(0, 1)，那么 0 和 1 被连通，连通分量降为 9 个。

再调用union(1, 2)，这时 0,1,2 都被连通，调用connected(0, 2)也会返回 true，连通分量变为 8 个。

![5e60ccb0d1832c80d90fb5228a158d08.png][]

判断这种「等价关系」非常实用，比如说编译器判断同一个变量的不同引用，比如社交网络中的朋友圈计算等等。

这样，你应该大概明白什么是动态连通性了，Union-Find 算法的关键就在于union和connected函数的效率。那么用什么模型来表示这幅图的连通状态呢？用什么数据结构来实现代码呢？

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### 二、基本思路 ###

注意我刚才把「模型」和具体的「数据结构」分开说，这么做是有原因的。因为我们使用森林（若干棵树）来表示图的动态连通性，用数组来具体实现这个森林。

怎么用森林来表示连通性呢？我们设定树的每个节点有一个指针指向其父节点，如果是根节点的话，这个指针指向自己。比如说刚才那幅 10 个节点的图，一开始的时候没有相互连通，就是这样：

![0587c46b406f9d8ee0fc77fb1da724d9.png][]

class UF {
        // 记录连通分量
        private int count;
        // 节点 x 的节点是 parent[x]
        private int[] parent;
    
        /* 构造函数，n 为图的节点总数 */
        public UF(int n) {
            // 一开始互不连通
            this.count = n;
            // 父节点指针初始指向自己
            parent = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++)
                parent[i] = i;
        }
    
        /* 其他函数 */
    }

**如果某两个节点被连通，则让其中的（任意）一个节点的根节点接到另一个节点的根节点上**：

![c9f8f4769210cc59436b996af8a64c92.png][]

public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
        // 将两棵树合并为一棵
        parent[rootP] = rootQ;
        // parent[rootQ] = rootP 也一样
        count--; // 两个分量合二为一
    }
    
    /* 返回某个节点 x 的根节点 */
    private int find(int x) {
        // 根节点的 parent[x] == x
        while (parent[x] != x)
            x = parent[x];
        return x;
    }
    
    /* 返回当前的连通分量个数 */
    public int count() { 
        return count;
    }

**这样，如果节点`p`和`q`连通的话，它们一定拥有相同的根节点**：

![6dcea714514fd42d06c1efb8c76319a3.png][]

public boolean connected(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        return rootP == rootQ;
    }

至此，Union-Find 算法就基本完成了。是不是很神奇？竟然可以这样使用数组来模拟出一个森林，如此巧妙的解决这个比较复杂的问题！

那么这个算法的复杂度是多少呢？我们发现，主要 APIconnected和union中的复杂度都是find函数造成的，所以说它们的复杂度和find一样。

find主要功能就是从某个节点向上遍历到树根，其时间复杂度就是树的高度。我们可能习惯性地认为树的高度就是logN，但这并不一定。logN的高度只存在于平衡二叉树，对于一般的树可能出现极端不平衡的情况，使得「树」几乎退化成「链表」，树的高度最坏情况下可能变成N。

![660ad945eb15f940a62800bb7259757c.png][]

所以说上面这种解法，find,union,connected的时间复杂度都是 O(N)。这个复杂度很不理想的，你想图论解决的都是诸如社交网络这样数据规模巨大的问题，对于union和connected的调用非常频繁，每次调用需要线性时间完全不可忍受。

**问题的关键在于，如何想办法避免树的不平衡呢？只需要略施小计即可**。

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### 三、平衡性优化 ###

我们要知道哪种情况下可能出现不平衡现象，关键在于`union`过程：

public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
        // 将两棵树合并为一棵
        parent[rootP] = rootQ;
        // parent[rootQ] = rootP 也可以
        count--; 
    }

我们一开始就是简单粗暴的把`p`所在的树接到`q`所在的树的根节点下面，那么这里就可能出现「头重脚轻」的不平衡状况，比如下面这种局面：

![df6cabfff3147740b8abf8dbc16f7470.png][]

长此以往，树可能生长得很不平衡。我们其实是希望，小一些的树接到大一些的树下面，这样就能避免头重脚轻，更平衡一些。解决方法是额外使用一个size数组，记录每棵树包含的节点数，我们不妨称为「重量」：

class UF {
        private int count;
        private int[] parent;
        // 新增一个数组记录树的“重量”
        private int[] size;
    
        public UF(int n) {
            this.count = n;
            parent = new int[n];
            // 最初每棵树只有一个节点
            // 重量应该初始化 1
            size = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                parent[i] = i;
                size[i] = 1;
            }
        }
        /* 其他函数 */
    }

比如说`size[3] = 5`表示，以节点`3`为根的那棵树，总共有`5`个节点。这样我们可以修改一下`union`方法：

public void union(int p, int q) {
        int rootP = find(p);
        int rootQ = find(q);
        if (rootP == rootQ)
            return;
        
        // 小树接到大树下面，较平衡
        if (size[rootP] > size[rootQ]) {
            parent[rootQ] = rootP;
            size[rootP] += size[rootQ];
        } else {
            parent[rootP] = rootQ;
            size[rootQ] += size[rootP];
        }
        count--;
    }

这样，通过比较树的重量，就可以保证树的生长相对平衡，树的高度大致在logN这个数量级，极大提升执行效率。

此时，find,union,connected的时间复杂度都下降为 O(logN)，即便数据规模上亿，所需时间也非常少。

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### 四、路径压缩 ###

这步优化特别简单，所以非常巧妙。我们能不能进一步压缩每棵树的高度，使树高始终保持为常数？

![954a85430308fe11f7671d2c5f12f62d.png][]

这样find就能以 O(1) 的时间找到某一节点的根节点，相应的，connected和union复杂度都下降为 O(1)。

要做到这一点，非常简单，只需要在find中加一行代码：

private int find(int x) {
        while (parent[x] != x) {
            // 进行路径压缩
            parent[x] = parent[parent[x]];
            x = parent[x];
        }
        return x;
    }

这个操作有点匪夷所思，看个 GIF 就明白它的作用了（为清晰起见，这棵树比较极端）：

![d3e95b97f2cade676f8de715a65354ea.png][]

可见，调用find函数每次向树根遍历的同时，顺手将树高缩短了，最终所有树高都不会超过 3（union的时候树高可能达到 3）。

PS：读者可能会问，这个 GIF 图的find过程完成之后，树高恰好等于 3 了，但是如果更高的树，压缩后高度依然会大于 3 呀？不能这么想。这个 GIF 的情景是我编出来方便大家理解路径压缩的，但是实际中，每次find都会进行路径压缩，所以树本来就不可能增长到这么高，你的这种担心应该是多余的。

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### 五、最后总结 ###

我们先来看一下完整代码：

class UF {
        // 连通分量个数
        private int count;
        // 存储一棵树
        private int[] parent;
        // 记录树的“重量”
        private int[] size;
    
        public UF(int n) {
            this.count = n;
            parent = new int[n];
            size = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                parent[i] = i;
                size[i] = 1;
            }
        }
        
        public void union(int p, int q) {
            int rootP = find(p);
            int rootQ = find(q);
            if (rootP == rootQ)
                return;
            
            // 小树接到大树下面，较平衡
            if (size[rootP] > size[rootQ]) {
                parent[rootQ] = rootP;
                size[rootP] += size[rootQ];
            } else {
                parent[rootP] = rootQ;
                size[rootQ] += size[rootP];
            }
            count--;
        }
    
        public boolean connected(int p, int q) {
            int rootP = find(p);
            int rootQ = find(q);
            return rootP == rootQ;
        }
    
        private int find(int x) {
            while (parent[x] != x) {
                // 进行路径压缩
                parent[x] = parent[parent[x]];
                x = parent[x];
            }
            return x;
        }
    
        public int count() {
            return count;
        }
    }

Union-Find 算法的复杂度可以这样分析：构造函数初始化数据结构需要 O(N) 的时间和空间复杂度；连通两个节点union、判断两个节点的连通性connected、计算连通分量count所需的时间复杂度均为 O(1)。

现在解决这道朋友圈问题就很简单了：

public int findCircleNum(int[][] M) {
            int n = M.length;
            UF uf = new UF(n);
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (M[i][j] == 1)
                        uf.union(i, j);
                }
            }
            
            return uf.count();
        }

首先，复习一下，Union-Find 算法解决的是图的动态连通性问题，这个算法本身不难，能不能应用出来主要是看你抽象问题的能力，是否能够把原始问题抽象成一个有关图论的问题。

**算法的关键点有 3 个：**

1.  用 parent 数组记录每个节点的父节点，相当于指向父节点的指针，所以 parent 数组内实际存储着一个森林（若干棵多叉树）。
2.  用 size 数组记录着每棵树的重量，目的是让 union 后树依然拥有平衡性，而不会退化成链表，影响操作效率。
3.  在 find 函数中进行路径压缩，保证任意树的高度保持在常数，使得 union 和 connected API 时间复杂度为 O(1)。

有的读者问，既然有了路径压缩，size 数组的重量平衡还需要吗？这个问题很有意思，因为路径压缩保证了树高为常数（不超过 3），那么树就算不平衡，高度也是常数，基本没什么影响。

我认为，论时间复杂度的话，确实，不需要重量平衡也是 O(1)。但是如果加上 size 数组辅助，效率还是略微高一些，比如下面这种情况：

![1b3b9470dc15fc79e316cdaba1efbcd2.png][]

如果带有重量平衡优化，一定会得到情况一，而不带重量优化，可能出现情况二。高度为 3 时才会触发路径压缩那个 while 循环，所以情况一根本不会触发路径压缩，而情况二会多执行很多次路径压缩，将第三层节点压缩到第二层。

也就是说，去掉重量平衡，虽然对于单个的 find 函数调用，时间复杂度依然是 O(1)，但是对于 API 调用的整个过程，效率会有一定的下降。当然，好处就是减少了一些空间，不过对于 Big O 表示法来说，时空复杂度都没变。

[Union-Find]: https://leetcode-cn.com/problems/friend-circles/solution/union-find-suan-fa-xiang-jie-by-labuladong/
[388a44b1d8aaeace95363462a1800c26.png]: /images/20221123/65ef98f969ef403a9482344124835fbb.png
[5e60ccb0d1832c80d90fb5228a158d08.png]: /images/20221123/da63c5a720814971aa504feecb7d2730.png
[0587c46b406f9d8ee0fc77fb1da724d9.png]: /images/20221123/bf5a35c7e4d246b581fec7436e37c342.png
[c9f8f4769210cc59436b996af8a64c92.png]: /images/20221123/d405980c3f9644cca8828f30f0575c06.png
[6dcea714514fd42d06c1efb8c76319a3.png]: /images/20221123/5c759885c24f4f78b7682381eb53bb3a.png
[660ad945eb15f940a62800bb7259757c.png]: /images/20221123/5e2a65be6b3f4ce9a1b5c971d0618557.png
[df6cabfff3147740b8abf8dbc16f7470.png]: /images/20221123/4c41498e93644908b7c1d4f99883a8b7.png
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