二叉树的概念

待我称王封你为后i 2022-12-09 00:37 306阅读 0赞

## 一 概述 ##

二叉树为多种树形结构中的一种，其特点为每个结点至多只有两棵子树，即二叉树中不存在度大于2的结点，并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

**二叉树同样是通过递归的形式进行定义。二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合：**

1.  当n=0的时候，该树为空二叉树。
2.  当n>0的时候，二叉树由一个根结点和互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树又分别为一棵二叉树。

二叉树是有序树，若将其左，右子树颠倒，则成为另一棵不同的二叉树。即使树中结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

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**二叉树与度为2的有序树的区别：**

1.  度为2的树至少右3个结点，而二叉树可以为空。
2.  度为2的有序树的孩子的左右次序是相对与另一个孩子而言的，若某个结点只有一个孩子，则这个孩子就无须区分其左右次序，而二叉树无论其左右孩子是否同时存在，均需确定其左右次序，即二叉树的结点次序不是相对另一个结点而言，而是确定的。

## 二 几种特殊的二叉树 ##

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**满二叉树：**一棵高度为h，且含有2^h - 1个结点的二叉树为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点。而且满二叉树的叶子结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶子结点之外的每个结点度数均为2。

**完全二叉树：**高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树。完全二叉树的特点如下：

1.  若i<=n/2(取下界)，则结点i为分支结点，否则为叶子节点。
2.  叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大的层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
3.  若有度为1的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子（重要特征）。
4.  按层序编号后，一旦出现某结点（编号为i）为叶子结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶子结点。
5.  若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子；若n为偶数，则编号最大的分支结点（编号为n/2）只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点左，右孩子都存在。

**二叉排序树：**左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上的所有结点关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树各是一棵二叉排序树。

**平衡二叉树：**树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1。

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