【Advanced控制理论】Nonlinear Adaptive Controller非线性自适应控制器（附Simulink程序）

傷城~ 2022-11-29 11:44 39阅读 0赞

在上一篇BLOG中谈到了非线性反馈控制器，其中系统的所有参数均为已知，这样的系统称为*Exactly Known System*。若系统中的参数未知该如何求解，由此引出*Nonlinear Adaptive Controller*。DR\_CAN的相关视频链接：**https://www.bilibili.com/video/BV1yW411u7qv**

在之前的*Tracking Problem*中，系统的状态方程为： x ˙ = a x 2 + u (1) \\dot\{x\}=ax^2+u\\tag\{1\} x˙=ax2\+u(1)

设： e = x d − x (2) e=x\_\{d\}-x\\tag\{2\} e=xd−x(2) e ˙ = x ˙ d − x ˙ = x ˙ d − a x 2 − u (3) \\dot\{e\}=\\dot\{x\}\_\{d\}-\\dot\{x\}=\\dot\{x\}\_\{d\}-ax^2-u\\tag\{3\} e˙=x˙d−x˙=x˙d−ax2−u(3)

定义: V ( e ) = 1 2 e 2 (PD) V\_\{(e)\}=\\frac\{1\}\{2\}\{e\}^2\\tag\{PD\} V(e)=21e2(PD) V ˙ ( e ) = e e ˙ = e ( x ˙ d − a x 2 − u ) (4) \\dot\{V\}\_\{(e)\}=e\\dot\{e\}=e(\\dot\{x\}\_\{d\}-ax^2-u)\\tag\{4\} V˙(e)=ee˙=e(x˙d−ax2−u)(4)

令： u = x ˙ d − a x 2 + k e (5) u=\\dot\{x\}\_d-ax^2+ke\\tag\{5\} u=x˙d−ax2\+ke(5)

这样 V ˙ ( e ) = − k e 2 \\dot\{V\}\_\{(e)\}=-ke^2 V˙(e)=−ke2为 N D ND ND，将 ( 5 ) (5) (5)式代入 ( 3 ) (3) (3)式得到： e ˙ = − k e \\dot\{e\}=-ke e˙=−ke，整个过程为*Feedback Linearization*。

以上是在 a a a为已知的情况下，假设有这样一个模型：给一小车施加一个力 F F F，使得小车以期望速度 x ˙ \\dot\{x\} x˙运动，其中车上载有一个人的质量为 m m m，我们期望不论人的质量为多少，小车均能按照稳定速度运动，即*Adapt the unkonwn parameter*。假设 a a a是一个缓慢变化的常数，即 a ˙ = 0 \\dot\{a\}=0 a˙=0。引入*Estimate*： a ^ \\hat\{a\} a^和*Estimate error*： a ~ = a − a ^ \\tilde\{a\}=a-\\hat\{a\} a~=a−a^，得到： a ~ ˙ = a ˙ − a ^ ˙ = − a ^ ˙ (6) \\dot\{\\tilde\{a\}\}=\\dot\{a\}-\\dot\{\\hat\{a\}\}=-\\dot\{\\hat\{a\}\}\\tag\{6\} a~˙=a˙−a^˙=−a^˙(6)

此时 u = x ˙ d − a ^ x 2 + k e (7) u=\\dot\{x\}\_d-\\hat\{a\}x^2+ke\\tag\{7\} u=x˙d−a^x2\+ke(7)

定义*Lyapunov function* V ( e , a ~ ) = 1 2 e 2 + 1 2 a ~ 2 (PD) V\_\{(e,\\tilde\{a\})\}=\\frac\{1\}\{2\}e^2+\\frac\{1\}\{2\}\\tilde\{a\}^2\\tag\{PD\} V(e,a~)=21e2\+21a~2(PD) V ˙ = e e ˙ + a ~ a ~ ˙ = e ( x ˙ d − a x 2 − u ) − a ~ a ^ ˙ (8) \\dot\{V\}=e\\dot\{e\}+\\tilde\{a\}\\dot\{\\tilde\{a\}\}=e(\\dot\{x\}\_\{d\}-ax^2-u)-\\tilde\{a\}\\dot\{\\hat\{a\}\}\\tag\{8\} V˙=ee˙\+a~a~˙=e(x˙d−ax2−u)−a~a^˙(8)

将 ( 7 ) (7) (7)代入 ( 8 ) (8) (8)式得： V ˙ = e ( − ( a − a ^ ) x 2 − k e ) − a ~ a ^ ˙ = − e a ~ x 2 − k e 2 − a ~ a ^ ˙ = − k e 2 − a ~ ( e x 2 + a ^ ˙ ) (9) \\dot\{V\}=e(-(a-\\hat\{a\})x^2-ke)-\\tilde\{a\}\\dot\{\\hat\{a\}\}=-e\\tilde\{a\}x^2-ke^2-\\tilde\{a\}\\dot\{\\hat\{a\}\}=-ke^2-\\tilde\{a\}(ex^2+\\dot\{\\hat\{a\}\})\\tag\{9\} V˙=e(−(a−a^)x2−ke)−a~a^˙=−ea~x2−ke2−a~a^˙=−ke2−a~(ex2\+a^˙)(9)

其中 − k e 2 -ke^2 −ke2为 N D ND ND，令 a ^ ˙ = − e x 2 \\dot\{\\hat\{a\}\}=-ex^2 a^˙=−ex2，这样 ( 9 ) (9) (9)式后半部分为 0 0 0，即： V ˙ ( e , a ~ ) = − k e 2 (NSD) \\dot\{V\}\_\{(e,\\tilde\{a\})\}=-ke^2\\tag\{NSD\} V˙(e,a~)=−ke2(NSD)

此时无法判定 e → 0 e\\rightarrow0 e→0和 a ~ → 0 \\tilde\{a\}\\rightarrow0 a~→0，只能确定二者稳定，需要引入**Lyapunov-like lemma**：  
 1 ） V ≥ 0 1）V\\ge 0 1）V≥0  
 2 ） V ˙ ≤ − g ( t ) ， w h e r e   g ( t ) ≥ 0 2）\\dot\{V\}\\le-g(t)，where\\space g(t)\\ge0 2）V˙≤−g(t)，where g(t)≥0  
 3 ） g ˙ ( t ) ∈ L ， i f   g ˙ ( t )   i s   b o u n d e d   t h e   g ( t )   i s   u n i f o r m l y   c o n t i n u o u s 3）\\dot\{g\}(t)\\in L，if\\space \\dot\{g\}(t)\\space is\\space bounded\\space the\\space \{g\}(t)\\space is\\space uniformly\\space continuous 3）g˙(t)∈L，if g˙(t) is bounded the g(t) is uniformly continuous  
 t h e n   lim ⁡ t → ∞ g ( t ) = 0 then\\space \\lim\\limits\_\{t\\to\\infty\}g(t)=0 then t→∞limg(t)=0

在本模型中， V V V为 P D PD PD自然满足 P S D PSD PSD，满足 ( 1 ) (1) (1)；  
 V ˙ = − k e 2 \\dot\{V\}=-ke^2 V˙=−ke2，令 g ( t ) = k e 2 ≥ 0 g(t)=ke^2\\ge0 g(t)=ke2≥0，满足 ( 2 ) (2) (2)；  
 g ˙ ( t ) = 2 k e e ˙ \\dot\{g\}(t)=2ke\\dot\{e\} g˙(t)=2kee˙是收敛的且 g ( t ) g(t) g(t)为一致连续的，满足 ( 3 ) (3) (3)。  
即可得出结论 lim ⁡ t → ∞ k e 2 = 0 \\lim\\limits\_\{t\\to\\infty\}ke^2=0 t→∞limke2=0，即在 t → ∞ t\\to\\infty t→∞时 e → 0 e\\to0 e→0，令： a ^ ˙ = − e x 2 = − ∫ 0 t e x 2 d t (10) \\dot\{\\hat\{a\}\}=-ex^2=-\\int\_\{0\}^\{t\}ex^2dt\\tag\{10\} a^˙=−ex2=−∫0tex2dt(10)

将 ( 10 ) (10) (10)式代入 ( 7 ) (7) (7)式得出： u = x ˙ d + x 2 ∫ 0 t e x 2 d t + k e u=\\dot\{x\}\_d+x^2\\int\_\{0\}^\{t\}ex^2dt+ke u=x˙d\+x2∫0tex2dt\+ke

即我们要求的最终结果。

============================================================================  
以下为*Matlab Simulink*程序仿真：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
当期望值 x d x\_d xd设为常数 2 2 2， a a a设为 \[ 2   4 \] \[2\\space4\] \[2 4\]的 R e p e a t i n g   S e q u e n c e   S t a i r Repeating\\space Sequence\\space Stair Repeating Sequence Stair时，仿真结果如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
其中黄线为期望值，蓝线为实际值，追踪结果良好。系统输入 u u u曲线如图：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
可以看到初始时输入很大，后期输入基本为 0 0 0。

**Simulink程序链接：**  
链接：https://pan.baidu.com/s/1IUelPowOM9osWAK-Za3G9Q  
提取码：ehxq

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221124/ff31e8a203f546a590381ec91411a576.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221124/4a7a2f9d9e1e44759531e91fbfdc23ed.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221124/0386821ecd254967be40ea325ec9c4fb.png