位姿矩阵求逆

╰+攻爆jí腚メ 2022-11-26 08:53 394阅读 0赞

### 位姿矩阵求逆 ###

*  位姿矩阵分析
 *  位姿矩阵求逆矩阵

**为了更好的说明问题，我们先来看一下位姿矩阵的定义。**

# 位姿矩阵分析 #

如下图所示：  
如果在B坐标系下有一点PB，我们需要知道该点在坐标系A下的坐标PA，怎么求呢？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dfd2VpeGlhb3Rhbw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
通过位姿变换矩阵，位姿变换矩阵如下：  
![在这里插入图片描述][2020081116443634.png_pic_center]

其中的含义是：式子中的  
R分量为旋转分量3×3的矩阵  
t分量为平移分量3×1的向量。  
其分别对应关系是什么呢?  
R 表示的 A 坐标系旋转成 B 坐标系需要进行怎么样的旋转。  
其有一种计算方法为：B 坐标系的XYZ向量在 A 坐标系下的表示，并且将其归一化，以列向量的形式进行书写，构成3×3的矩阵。即X分量写在第一列，Y在第二列，Z在第三列  
t 表示由 A 的原点指向 B 的原点矢量，在 A 坐标系下的分量（表示）。  
绿色的箭头为平移向量的表示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dfd2VpeGlhb3Rhbw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

# 位姿矩阵求逆矩阵 #

如果我们想知道 PA 如何转换成 PB ，即将以下公式进行求逆的操作：  
![在这里插入图片描述][20200811170051688.png_pic_center]  
***我们可以直接对该位姿变换矩阵进行求逆的操作。***  
但是，我们知道，位姿矩阵中的旋转矩阵是一个标准的  
***正交矩阵***。  
证明链接: [旋转矩阵是正交矩阵的证明][Link 1]

可以通过这个性质来更加快速的求出位姿矩阵的逆矩阵。

正交矩阵的性质：

*  1)AT是正交矩阵
 *  2)A\*AT=E（E为单位矩阵）
 *  3)AT的各行是单位向量且两两正交
 *  4)AT的各列是单位向量且两两正交
 *  5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
 *  6)|A|=1或-1
 *  7)正交矩阵通常用字母Q表示。
 *  8）A的转置等于A的逆

通过性质8我们可以知道，旋转矩阵的逆就等于它的转置。  
那么，一个位姿矩阵的逆怎么表示：  
假如说，一个位姿矩阵为：  
![在这里插入图片描述][20200811171147936.png_pic_center]

那么，它的逆可以快速求出：

![在这里插入图片描述][20200811171315898.png_pic_center]  
***即旋转分量的逆为转置，平移分量的逆为 （-R \* t） （其中R为3×3矩阵，t 为3×1的矩阵）；  
注意：平移有负号***

证明过程为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dfd2VpeGlhb3Rhbw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
参考博客：https://blog.csdn.net/weixin\_33674976/article/details/89666910

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/w_weixiaotao/article/details/107929158
[20200811171147936.png_pic_center]: /images/20221124/7b80933a113d403b91f839fa670126a7.png
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