JZ7:大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。

╰+攻爆jí腚メ 2022-11-26 07:44 141阅读 0赞

## 题目描述 ##

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0，第1项是1）。

n<=39

## 过程： ##

0 1 1 2 3 5 8……

这题我知道绝对要用递归，这样才帅。

public class Solution {
        public int Fibonacci(int n) {
            if(n==0) return 0;
            if(n==1) return 1;
            return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
        }
    }

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时  
**时间复杂度**：O(2^n)  
**空间复杂度**：递归栈的空间

再去看看题解……

原来我想到的方法又是最烂的啊……

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## 方法二：记忆化搜索 ##

拿求f\[5\] 举例

![format_png][]

通过图会发现，初始方法中存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。  
那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

public class Solution {
        public int Fibonacci(int n) {
            int ans[] = new int[40];
            ans[0]=0;
            ans[1]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];
            }
            return ans[n];
        }
    }

时间复杂度：![O(n)][O_n]  
空间复杂度：![O(n)][O_n]

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## 优化存储 ##

其实我们可以发现每次就用到了最近的两个数，所以我们可以只存储最近的两个数

*  sum 存储第 n 项的值
 *  one 存储第  n-2 项的值
 *  two 存储第  n-1 项的值

public class Solution {
        public int Fibonacci(int n) {
            if(n==0){
                return 0;
            }
            if(n==1){
                return 1;
            }
            int sum = 0;
            int one = 0;
            int two = 1;
            for(int i=2;i<n+1;i++){
                sum = one+two;
                one = two;
                two = sum;
            }
            return sum;
        }
    }

**时间复杂度**：O（n）  
**空间复杂度**：O（1）

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## 持续优化 ##

观察上一版发现，sum 只在每次计算第 n 项的时候用一下，其实还可以利用 sum 存储第 n-1 项，例如当计算完 f(5) 时 sum 存储的是 f(5) 的值，当需要计算 f(6) 时，f(6) = f(5) + f(4)，sum 存储的 f(5)，f(4) 存储在 one 中，由 f(5)-f(3) 得到。

本来的三个变量存储，现在只有俩变量存储。

public class Solution {
        public int Fibonacci(int n) {
            if(n==0){
                return 0;
            }
            if(n==1){
                return 1;
            }
            int sum = 1;
            int one = 0;
            for(int i=2;i<n+1;i++){
                sum = one + sum;
                one = sum - one;
            }
            return sum;
        }
    }

**时间复杂度**：O（n）  
**空间复杂度**：O（1）

[format_png]: /images/20221124/2cb793a7a27b405c9e33c57cde51e97d.png
[O_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?O%28n%29