matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

╰+攻爆jí腚メ 2022-11-25 04:21 195阅读 0赞

### 目录 ###

*   *   *  一元函数的导数
         *   *  MATLAB函数语法
             *  应用举例
             *   *   *  例1 ：普通函数求导
                     *  例2 ：复合泛函求导
                     *  例3 ：矩阵函数求导
         *  多元函数的偏导数
         *   *  MATLAB函数语法
             *  应用举例
             *   *   *  例1 ：求偏导并绘图
                     *  例2 ：三元函数求偏导

### 一元函数的导数 ###

#### MATLAB函数语法 ####

y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
    y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数

> 注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。

#### 应用举例 ####

###### 例1 ：普通函数求导 ######

给定函数 f ( x ) = s i n x x 2 + 4 x + 3 f(x)=\\frac\{sin x\}\{x^2+4x+3\} f(x)=x2\+4x\+3sinx分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。

syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
    ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
    f4 = diff(f,x,4)
    f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
    f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
    tic, diff(f,x,50); toc

> 根据结果可知`diff`函数的效率较高。

###### 例2 ：复合泛函求导 ######

已知函数 F ( t ) = t 2 ∗ s i n t ∗ f ( t ) F(t)=t^2\*sint\*f(t) F(t)=t2∗sint∗f(t)，推导其三阶导数公式。

> 分析：该题难点为如何定义 f ( t ) f(t) f(t)

syms t f(t)
    G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))

当 f ( t ) = e − t f(t)=e^\{-t\} f(t)=e−t时， F ( t ) F(t) F(t)的三阶导数为

G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
    err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)

###### 例3 ：矩阵函数求导 ######

![矩阵函数][20200807131506936.png_pic_center]  
对每个矩阵元素直接求导

syms x; 
    H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)], 
    H1=diff(H,x,3)

### 多元函数的偏导数 ###

#### MATLAB函数语法 ####

高阶偏导数![偏导数][20200807132429902.png_pic_center]的求法

y = diff(diff(fun, x, m), y, n)       
    y = diff(diff(fun, y, n), x, m)

#### 应用举例 ####

###### 例1 ：求偏导并绘图 ######

求函数 z = f ( x , y ) = ( x 2 − 2 x ) e − x 2 − y 2 − x y z=f(x,y)=(x^2-2x)e^\{-x^2-y^2-xy\} z=f(x,y)=(x2−2x)e−x2−y2−xy的一阶偏导数 ∂ z / ∂ x , ∂ z / ∂ y \\partial z/\\partial x, \\partial z/\\partial y ∂z/∂x,∂z/∂y,并绘图。

*  求偏导数

syms x y
    z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
    zx = simplify(diff(z,x))
    zy = simplify(diff(z,y))

*  绘制三维曲面

[x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2); 
    z0 = double(subs(z,{ x,y},{ x0,y0}));
    surf(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])

![三维曲面][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

*  绘制引力线（负梯度）

contour(x0,y0,z0,30), hold on
    zx0 = subs(zx,{ x,y},{ x0,y0}); 
    zy0 = subs(zy,{ x,y},{ x0,y0}); 
    quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)

![引力线（负梯度）][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

###### 例2 ：三元函数求偏导 ######

求函数 f ( x , y , z ) = s i n ( x 2 y ) e − x 2 y − z 2 f(x,y,z)=sin(x^2y)e^\{-x^2y-z^2\} f(x,y,z)=sin(x2y)e−x2y−z2的偏导数 ∂ 4 f ( x , y , z ) / ( ∂ x 2 ∂ y ∂ z ) \\partial^4 f(x,y,z)/(\\partial x^2 \\partial y \\partial z ) ∂4f(x,y,z)/(∂x2∂y∂z)

syms x y z
    f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2); 
    df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z); 
    df = simplify(df)

[20200807131506936.png_pic_center]: /images/20221124/060d371b17224e5b8a75bfed73f4d812.png
[20200807132429902.png_pic_center]: /images/20221124/f2161a04d5d9437cb65ba82f7c3941e5.png
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