常见算法-多项式计算(1)

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-11-22 05:18 193阅读 0赞

**最近在学算法，做做笔记，便于以后温习。**

**学习资源：《常用算法程序集》**

# 一。多项式求值 #

## 1.一维多项式 ##

问题描述：计算形如![Center][]

的多项式在指定点x处的函数值。

问题分析：首先，将多项式表述成如下嵌套形式：

![Center 1][]

然后从里往外一层一层地进行计算。其递推计算公式如下：

![Center 2][]

![Center 3][]

最后得到的u即多项式值。

下面，通过代码计算此多项式：![Center 4][]

#include <stdio.h>
    
    /*  polynome_one函数介绍
     功能：计算并返回一维多项式在指定点x处的函数值
     参数：           int n:多项式的项数
                  double x:指定的自变量的值
     double *modulus_array:存放n－1次多项式的n个系数的数组
     */
    double polynome_one(int n, double x, double *modulus_array)
    {
        int i;
        double result_;     //利用推导出的递推公式进行计算
        result_ = modulus_array[n-1];
        
        for (i=n-2; i>=0; i--)
        {
            result_ = result_ * x + modulus_array[i];
        }
        
        return result_;  //返回多项式值
    }
    int main()
    {
        int i;
        double modulus_array[7] = {-20.0, 7.0, -7.0, 1.0, 3.0, -5.0, 2.0}; //初始化系数数组
        double x[6] = {0.9, -0.9, 1.1, -1.1, 1.3, -1.3};  //初始化自变量x数组
        
        for (i=0; i<=5; i++) //打印每次x对应的结果。 
        {
            printf("x(%d) = %5.2lf   p(x(%d)) = %13.7e\n", i, x[i], i, polynome_one(7, x[i], modulus_array));
        }
        return 0;
    }
    
    //注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
    
    /* 
     ****************结果*******************
     x(0) =  0.90   p(x(0)) = -1.8562268e+01
     x(1) = -0.90   p(x(1)) = -2.6715368e+01
     x(2) =  1.10   p(x(2)) = -1.9556128e+01
     x(3) = -1.10   p(x(3)) = -2.1513028e+01
     x(4) =  1.30   p(x(4)) = -2.0875732e+01
     x(5) = -1.30   p(x(5)) = -6.3404320e+00
    */

## 2.二维多项式 ##

问题描述： 计算形如![Center 5][]的二维多项式在给定点（x，y）处的函数值

问题分析： 将二维多项式变形如下：

![Center 6][]

令：![Center 7][]

则计算si的递推公式如下：

![Center 8][]

![Center 9][]

最后计算得到的u即si

最后再将所有的si累加，即可得到最后的解。

下面通过代码计算此多项式![Center 10][]

其中，系数矩阵为：![Center 11][]

#include <stdio.h>
    
    /*  polynome_two函数介绍
     功能：计算并返回二维多项式在指定点x处的函数值
     参数：           int n:自变量y的最高次数为n－1
                     int m:自变量x的最高次数为m－1
                  double x:指定的自变量x的值
                  double y:指定的自变量y的值
     double *modulus_array:存放二维多项式的系数
     */
    double polynome_two(double *modulus_array, int m, int n, double x, double y)
    {
        int i, j;
        double result_, each_si, now_xi;
        result_ = 0.0;
        now_xi = 1.0;
        
        for (i=0; i<=m-1; i++)
        {
            each_si = modulus_array[i*n+n-1] * now_xi;
            for (j=n-2; j>=0; j--)
            {
                each_si = each_si * y + modulus_array[i*n+j] * now_xi;
            }
            
            result_ += each_si;
            now_xi = now_xi * x;
        }
        return  result_;
    }
    int main()
    {
        double result_;
        double modulus_array[4][5] = {
       {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0},
                                    {6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0},
                                    {11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0},
                                    {16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20.0}};
        
        result_ = polynome_two(modulus_array, 4, 5, 0.6, -1.3);
        printf("p(0.6, -1.3) = %13.7e\n", result_);
        
    }
    
    //注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
    
    /* 
     ****************结果*******************
       p(0.6, -1.3) = 3.9665544e+01 */

## 3.复数多项式 ##

问题描述：计算形如![Center 12][]

的复数多项式在给定复数z时的值。

问题分析：和上面的多项式分析一样，嵌套进行，就不多重复了。关键在于cmul对每组复数相乘的计算过程。

下面通过代码，计算![Center 13][]

在z＝1+j时的函数值

#include <stdio.h>
    
    /*  cuml函数介绍
     功能：计算两个复数乘积   即(a+bj)*(c+dj) = e+fj
     参数: 对应复数中的各个值
     结果: 对e，f分别计算求得值
    */
    
    void cmul(double a, double b, double c, double d, double *e, double *f)
    {
        double p, q, s;
        p = a * c;
        q = b * d;
        s = (a+b) * (c+d);
        
        *e = p - q;
        *f = s - p - q;
    }
    
    /*  polynome_z函数介绍
     功能：计算复数多项式在给定复数z(x+yj)时的函数值
     参数: double *modulus_r: 存放多项式的实部
          double *modulus_r: 存放多项式的虚部
                   double x: 给定复数z的实部
                   double y: 给定复数z的虚部
                  double *u: 返回多项式值的实部
                  double *v: 返回多项式值的虚部
     */
    void polynome_z(double *modulus_r, double *modulus_i, int n, double x, double y, double *u, double *v)
    {
        int i;
        double now_r, now_i;
        double p, q;
        now_r = modulus_r[n-1];
        now_i = modulus_i[n-1];
        for (i=n-2; i>=0; i--)
        {
            cmul(now_r, now_i, x, y, &p, &q);
            now_r = p + modulus_r[i];
            now_i = q +  modulus_i[i];
        }
        
        *u = now_r;
        *v = now_i;
    }
    
    
    int main()
    {
        double x, y, u, v;
        double modulus_r[4] = {2.0, 2.0, 1.0, 2.0};
        double modulus_i[4] = {1.0, 1.0, 1.0, 2.0};
        
        x = 1.0;
        y = 1.0;
        polynome_z(modulus_r, modulus_i, 4, x, y, &u, &v);
        printf("p(1.0+j) = %10.7lf+%10.7lfj", u, v);
        
    }
    
    //注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
    
    //计算结果：  p(1.0+j) = -7.0000000+ 6.0000000j

# 二。多项式乘法 #

## 1.多项式相乘（实数） ##

算法本身没什么难度，两个循环，遍历p，q两个多项式各个项的系数相乘，所得结果加到对应结果项上。

下面通过代码计算

![Center 14][]![Center 15][]

![Center 16][]

#include <stdio.h>
    
    /* ***********polynome_mul函数功能介绍*************/
    /* 函数功能：计算两个多项式相乘                      */
    /* 参数说明：*polynome_first,第一个多项式系数数组     */
    /*         *polynome_second,第二个多项式系数数组    */
    /*         *polynome_result,相乘结果多项式系数数组   */
    /* num_first,num_second,num_result分别对应多项式项数*/
    /* ******************************************** */
    void polynome_mul(double *polynome_first, double *polynome_second, double *polynome_result, int num_first, int num_second, int num_result)
    {
        int i, j;
        
        for (i=0; i<num_result; i++)  //先初始化为0，（下面加法要用到，不初始化出错）
        {
            polynome_result[i] = 0.0;
        }
        for (i=0; i<num_first; i++)
        {
            for (j=0; j<num_second; j++)   //S(i+j) = S(i+j) + P(i)*p(j) 算法核心
            {
                polynome_result[i+j] = polynome_result[i+j] + polynome_first[i] * polynome_second[j];
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        int i;
        double polynome_first[6] = {4.0, -6.0, 5.0, 2.0, -1.0, 3.0};
        double polynome_second[4] = {2.0, 3.0, -6.0, 2.0};
        
        double polynome_result[9];  // 6+4-1
        polynome_mul(polynome_first, polynome_second, polynome_result, 6, 4, 9);
    
        for (i=0; i<9; i++)
        {
            printf("S(%d) = %13.7e\n", i, polynome_result[i]); //打印结果为各个项的系数
        }
    }
    
    //注：%e 是表示输出的数字以科学计数显示      如：7.234568e+003(即 7.234568*10^(+003) )
    
    /*计算结果：
     S(0) = 8.0000000e+00
     S(1) = 0.0000000e+00
     S(2) = -3.2000000e+01
     S(3) = 6.3000000e+01
     S(4) = -3.8000000e+01
     S(5) = 1.0000000e+00
     S(6) = 1.9000000e+01
     S(7) = -2.0000000e+01
     S(8) = 6.0000000e+00
     */

[Center]: /images/20221120/9a179848f8704bac907b55fac2133d35.png
[Center 1]: /images/20221120/a93e0e7fa4eb468fb04c2892615ab9a2.png
[Center 2]: /images/20221120/b912b6c14aad4034a957a94e5dbc1c34.png
[Center 3]: /images/20221120/6ad99c06700946b2907b136711d7e60b.png
[Center 4]: /images/20221120/a3418a24ed9048c58869cb05dfc7b9a4.png
[Center 5]: /images/20221120/7dfa60c5a5884a90bc71c3ac0a89f2ea.png
[Center 6]: /images/20221120/77a57b42cdc64acebba9537d76708b1e.png
[Center 7]: /images/20221120/0f34d28fff5b4fd6b57a9a4d4621af76.png
[Center 8]: /images/20221120/2a6e3bae8f1f44d4aba91c32bbafce45.png
[Center 9]: /images/20221120/f1822fca0595448a80776d2cb8e3123d.png
[Center 10]: /images/20221120/4ae6cbdbc24f4e3e9c3284c0875abeaf.png
[Center 11]: /images/20221120/b5c0220c0d854171a7fb11224c348f9c.png
[Center 12]: /images/20221120/f615644c04954a06b4c5c4cd76ccfd78.png
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[Center 15]: /images/20221120/7798823b0a80405eba7904779f7fb7c9.png
[Center 16]: /images/20221120/f0d3175c73a44bb6887b4aa1c5b78a7d.png