MATLAB机器学习系列-12：蚁群算法优化原理及其matlab实现

墨蓝 2022-11-22 00:12 198阅读 0赞

## 蚁群算法原理 ##

概述  
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*  蚁群算法（Ant Colony Algorithm, ACA）由Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中首次提出，该算法模拟了自然界中蚂蚁的觅食行为。
 *  蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。 信息素浓度的大小表征路径的远近 ， 信息素浓度越高 ， 表示对应的路径距离越短。
 *  通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样，会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即距离最短。
 *  值得一提的是，生物学家同时发现， 路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。
 *  将蚁群算法应用于解决优化问题，其基本思路为： 用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解 ， 整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也愈来愈多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

\-数学公式原理如图  
allow表示没有访问过的城市  
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![20201103095135618.png_pic_center][]

模型  
![20201103095321963.png_pic_center][]  
![2020110309553414.png_pic_center][]

蚁群算法的特点

*  采用正反馈机制，使得搜索过程不断收敛，最终逼近于最优解；
 *  每个个体可以通过释放信息素来改变周围的环境，且每个个体能够感知围环境的实时变化，个体间通过环境进行间接地通讯；
 *  搜索过程采用分布式计算方式，多个个体同时进行并行计算，大大提高了算法的计算能力和运行效率；
 *  启发式的概率搜索方式，不容易陷入局部最优，易于寻找到全局最优解。

## MATLAB实现 ##

算例 旅行商问题  
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重点函数解读  
ismember

> 格式 k = ismember(a,S) %当a中元素属于S时，k取1，否则，k取0。  
> k = ismember(A,S,‘rows’) %A、S有相同的列，返回行相同k取1，不相同取0的列向量。

~ 取反

![2020110310133194.png_pic_center][]

cumsum

> 对数组计算累计求和。如果A是一个向量，函数返回一个长度相同的向量，其中的元素是原向量的累积和。如果A是一个矩阵，则将每一列当做一个向量进行计算，最后返回与A大小相同的矩阵。如果A是一个多维数组，函数对第一个长度不为1的维度进行计算。B=cumsum(A,dim)沿着dim指定的维度返回元素的累积和。

![20201103101733930.png_pic_center][]

num2str

> 把数字转换为字符串

text

> text(x,y，‘string’)将用引号括起来的字符串添加到点(x,y) x和y必须是类的个数所指定的位置

**算例开始**  
第一步：清空环境变量

%% I. 清空环境变量
    clear all
    clc

第二步：导入数据

%% II. 导入数据
    load citys_data.mat

一共有31个样本，代表31个城市，每个城市有2维数据，横纵坐标  
![20201103102442290.png_pic_center][]

第三步：计算城市间相互距离,

n = size(citys,1);%n=31
    D = zeros(n,n);%因为是计算两两之间的距离，所以矩阵为31*31
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if i ~= j
                D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
            else
                D(i,j) = 1e-4;  %对角矩阵 距离为0，我将对角矩阵赋值一个很小的距离，不影响计算。因为前文图中公式里有距离的倒数   
            end
        end    
    end

![20201103103140687.png_pic_center][]

第四步：初始化参数

%% IV. 初始化参数
    m = 50;                              % 蚂蚁数量
    alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
    beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
    rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
    Q = 1;                               % 常系数
    Eta = 1./D;                          % 启发函数
    Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
    Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
    iter = 1;                            % 迭代次数初值
    iter_max = 200;                      % 最大迭代次数 
    Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
    Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
    Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度

第五步：迭代

%% V. 迭代寻找最佳路径
    while iter <= iter_max
         % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
          start = zeros(m,1);
          for i = 1:m   %遍历每一个蚂蚁
              temp = randperm(n);%randperm(n)产生1-n的随机序列
              start(i) = temp(1); %起始点赋值
          end
          Table(:,1) = start; %% Table路径记录表 
          citys_index = 1:n;
          % 逐个蚂蚁路径选择
          for i = 1:m
              % 逐个城市路径选择
             for j = 2:n
                 tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
                 allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);%取出未访问过的城市索引 
                 allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
                 P = allow;
                 % 计算城市间转移概率
                 for k = 1:length(allow)
                     P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
                 end
                 P = P/sum(P);
                 % 轮盘赌法选择下一个访问城市
                 Pc = cumsum(P);     
                target_index = find(Pc >= rand); 
                target = allow(target_index(1));
                Table(i,j) = target;
             end
          end
          % 计算各个蚂蚁的路径距离
          Length = zeros(m,1);
          for i = 1:m
              Route = Table(i,:);
              for j = 1:(n - 1)
                  Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
              end
              Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
          end
          % 计算最短路径距离及平均距离
          if iter == 1
              [min_Length,min_index] = min(Length);
              Length_best(iter) = min_Length;  
              Length_ave(iter) = mean(Length);
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              [min_Length,min_index] = min(Length);
              Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
              Length_ave(iter) = mean(Length);
              if Length_best(iter) == min_Length
                  Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
              else
                  Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
              end
          end
          % 更新信息素
          Delta_Tau = zeros(n,n);
          % 逐个蚂蚁计算
          for i = 1:m
              % 逐个城市计算
              for j = 1:(n - 1)
                  Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
              end
              Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
          end
          Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
        % 迭代次数加1，清空路径记录表
        iter = iter + 1;
        Table = zeros(m,n);
    end

第六步：

%% VI. 结果显示
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best);
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
    disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
    
    %% VII. 绘图
    figure(1)
    plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
         [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    grid on
    for i = 1:size(citys,1)
        text(citys(i,1),citys(i,2),[' ' num2str(i)]);
    end
    text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),' 起点');
    text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),' 终点');
    xlabel('城市位置横坐标')
    ylabel('城市位置纵坐标')
    title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
    figure(2)
    plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
    legend('最短距离','平均距离')
    xlabel('迭代次数')
    ylabel('距离')
    title('各代最短距离与平均距离对比')

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![在这里插入图片描述][20201103110910857.jpg_pic_center]

![在这里插入图片描述][20201103110917682.gif_pic_center]

[20201103093450434.png_pic_center]: /images/20221120/b87fdbf44c234d629c5e9a3d8feb9a36.png
[20201103094038103.png_pic_center]: /images/20221120/48005e104fcd42edafc2208f229cd856.png
[20201103095135618.png_pic_center]: /images/20221120/d951ebff828d4bff907db5d955851d9c.png
[20201103095321963.png_pic_center]: /images/20221120/a741e3ccc82041f0ad00bf712f054c59.png
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[2020110310133194.png_pic_center]: /images/20221120/c9d62f9f4f1348e495801432da0328cf.png
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