面试算法之二叉树操作集锦

痛定思痛。 2022-11-19 04:30 153阅读 0赞

### [面试算法之二叉树操作集锦][Link 1] ###

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开学了，找工作也正式拉开了序幕，每天光自己看书，也很没劲，和大家一起分享分享，交流一下笔试面试过程中的各种算法题目，如有问题，欢迎指正，希望大家一起进步。。。

下面是对数据结构二叉树的一些基本操作，可能在面试中都会涉及到。我们都知道二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以对树的大部分操作都可以通过递归的方式进行，但递归不是万能的，因为递归的本身是一件很浪费内存资源的操作，所以在选择算法的时候要权衡各种因素，选取最合理的算法。下图Fig 1 是下面代码中举例会用到的图：

![SouthEast][]

Fig 1

在本文中，所讨论的二叉树采取以下的定义方式：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  **template**<**typename** Type>  
2.  **struct** BiNode\{  
3.      Type data;  
4.      BiNode \*left;  
5.      BiNode \*right;  
6.  \};

下面就是各种对二叉树的操作，也行大家在各种面试书中看过了，这些题目在面试中可能会经常出现，所以要秒杀它们。。。

### 1.二叉树的创建 ###

下面的创建是采用递归的方式进行创建，节点的内容为字符。节点的创建方式是先序的方式，先创建根节点，然后是左子树，最后是右子树。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \*Create Binary Tree 
3.   \*/  
4.  BiNode<**char**> \* CreateBiTree()  
5.  \{  
6.      BiNode<**char**> \*root;  
7.      **char** data;  
8.      cin>>data;  
9.    
10.     **if**(data == '$')  
11.         **return** NULL;  
12.   
13.     root = **new** BiNode<**char**>;  
14.     root->data = data;  
15.   
16.     root->left = CreateBiTree();  
17.     root->right = CreateBiTree();  
18.   
19.     **return** root;  
20. \}

### 2.二叉树的各种遍历 ###

下面的算法是二叉树的各种遍历，包括先序，中序，层次遍历，其中有非递归和递归的算法，关于后序遍历这里没有列举，因为后序的非递归相对比较复杂，每个节点要进出栈两次，在面试的过程中一般面试官不是变态的话，不会考后序的非递归算法的。

#### 2.1 先序遍历    ####

下面是先序遍历的递归算法：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* recursively pre-order traverse the binary tree 
3.   \* 先序遍历递归算法 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** PreOrder( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if**(root == NULL)      
9.          **return**;  
10.       
11.     cout<<root->data<<endl;  
12.   
13.     PreOrder(root->left);  
14.     PreOrder(root->right);  
15. \}

下面是先序遍历的非递归算法，非递归的思想就是通过栈来模拟递归的过程，非递归的先序遍历就是在每访问一个节点后，讲该节点的右孩子压入栈，然后再将左孩子压栈。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* non-recursively pre-order traverse the binary tree 
3.   \* 先序遍历非递归算法 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** PreOrder\_NonRecursive( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if**(root == NULL)      
9.          **return**;  
10.       
11.     stack<BiNode<Type> \*> nodeStack;  
12.     nodeStack.push(root);  
13.   
14.     **while**(!nodeStack.empty())  
15.     \{  
16.         BiNode<Type> \*node = nodeStack.top();  
17.         nodeStack.pop();  
18.   
19.         cout<<node->data<<endl;  
20.   
21.         **if**(node->right)  
22.             nodeStack.push(node->right);  
23.         **if**(node->left)  
24.             nodeStack.push(node->left);  
25.     \}  
26. \}

#### 2.2 中序遍历    ####

下面是中序遍历的递归算法：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* recursively in-order traverse the binary tree 
3.   \* 中序遍历递归算法 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** InOrder( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if**(root == NULL)      
9.          **return**;  
10.   
11.     InOrder(root->left);  
12.   
13.     cout<<root->data<<endl;  
14.   
15.     InOrder(root->right);  
16. \}

下面是中序遍历的非递归算法，中序遍历非递归的思想就是将节点的沿着左子树的方向一直入栈，直到左子树为空，然后弹出栈里的元素进行访问，如果该节点存在右子树，则重复执行上述操作。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* non-recursively in-order traverse the binary tree 
3.   \* 中序遍历非递归算法 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** InOrder\_NonRecursive( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if** (root == NULL)  
9.          **return**;  
10.   
11.     stack<BiNode<Type> \*> nodeStack;  
12.     BiNode<Type> \*node = root;  
13.   
14.     **while** (node != NULL || !nodeStack.empty())  
15.     \{  
16.         **if** (node != NULL)  
17.         \{  
18.             nodeStack.push(node);  
19.             node = node->left;  
20.         \}  
21.         **else**  
22.         \{  
23.             node = nodeStack.top();  
24.             nodeStack.pop();  
25.   
26.             cout<<node->data<<endl;  
27.   
28.             node = node->right;  
29.         \}  
30.     \}  
31. \}

#### 2.3 层次遍历 ####

二叉树的层次遍历就是按照节点的深度从上往下，从左往右依次访问树中的每一个节点。  
下面这种方法是通过队列来完成的，首先将根节点入队列，然后重复进行如下操作：读取队头节点元素，并将节点的左右孩子写入队列，直到队列为空。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* level order traverse the binary tree 
3.   \* method 1 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** LevelOrder\_1( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if** (root == NULL)  
9.          **return**;  
10.   
11.     queue<BiNode<Type> \*> nodeQueue;  
12.     nodeQueue.push(root);  
13.   
14.     **while** (!nodeQueue.empty())  
15.     \{  
16.        BiNode<Type> \*node = nodeQueue.front();  
17.        nodeQueue.pop();  
18.   
19.        cout<<node->data<<" ";  
20.   
21.        **if**(node->left)  
22.            nodeQueue.push(node->left);  
23.        **if**(node->right)  
24.            nodeQueue.push(node->right);  
25.     \}  
26. \}

上面的算法不能清晰的按层次单独的打印二叉树的每层数据，下面有二种方法可以代替这种方法。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* level order traverse the binary tree 
3.   \* method 2 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** LevelOrder\_2( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if** (root == NULL)  
9.          **return**;  
10.   
11.     //GetBinTreeHeight()函数用于获取二叉树的高度，后面会有介绍  
12.     **for** (**int** i = 1; i <= GetBinTreeHeight(root); ++i)  
13.     \{  
14.         PrintKthLevelOrder(root, i);  
15.         cout<<endl;  
16.     \}  
17. \}  
18.   
19. /\*\* 
20.  \* print the k(th) level node of binary tree 
21.  \* 打印二叉树的第K层的节点 
22.  \* 
23.  \* @param   k   the level, its value must be 1 <= k <= tree height 
24.  \*/  
25. **template** <**typename** Type>  
26. **void** PrintKthLevelOrder( BiNode<Type> \*root, **int** k)  
27. \{  
28.     **if** (root == NULL)  
29.         **return**;  
30.   
31.     **if**(k == 1)  
32.     \{  
33.         cout<<root->data<<" ";  
34.         **return**;  
35.     \}  
36.   
37.     PrintKthLevelOrder(root->left, k - 1);  
38.     PrintKthLevelOrder(root->right, k - 1);  
39. \}

上面的代码完成了独立的遍历每一层的节点。但我们会发现，遍历每一层节点都会从根节点往下开始，这样会存在大量的重复操作，一般的面试官是不会满意这种算法的。下面就是通过STL vector来存储遍历的节点，过程和通过队列访问类型，但用了两个index来标识每一层。具体可以参考编程之美3.10节。下面是代码：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* level order traverse the binary tree 
3.   \* method 3 
4.   \*/  
5.  **template** <**typename** Type>  
6.  **void** LevelOrder\_3( BiNode<Type> \*root )  
7.  \{  
8.      **if** (root == NULL)  
9.          **return**;  
10.   
11.     vector<BiNode<Type> \*> nodeVec;  
12.     nodeVec.push\_back(root);  
13.   
14.     **int** cur, last;  
15.     cur = 0, last = 1;  
16.   
17.     **while**(cur < nodeVec.size())  
18.     \{  
19.         cout<<nodeVec\[cur\]->data<<" ";  
20.   
21.         **if**(nodeVec\[cur\]->left != NULL)  
22.             nodeVec.push\_back(nodeVec\[cur\]->left);  
23.         **if**(nodeVec\[cur\]->right != NULL)  
24.             nodeVec.push\_back(nodeVec\[cur\]->right);  
25.   
26.         ++cur;  
27.   
28.         **if** (cur == last)  
29.         \{  
30.             last = nodeVec.size();  
31.           
32.             cout<<endl;  
33.         \}  
34.     \}  
35. \}

### 3.二叉树的高度 ###

二叉树的高度可以通过后序遍历的思想，递归的统计节点的左子树和右子树的高度，然后取左右子树高度的最高值，然后加1，就是该层节点的高度。代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* calculate the height of binary tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **int** GetBinTreeHeight( BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **if** (root == NULL)  
8.          **return** 0;  
9.    
10.     **int** lHeight = GetBinTreeHeight(root->left);  
11.     **int** rHeight = GetBinTreeHeight(root->right);  
12.   
13.     **if**(lHeight < rHeight)  
14.         **return** rHeight + 1;  
15.   
16.     **return** lHeight + 1;  
17. \}

### 4.二叉树第K层节点的个数 ###

也是通过后序遍历的思想，分别求节点左右子树在第K层的节点个数，然后求和。这里对传入的k，随着递归深度的加深，逐渐减1，直到k为1。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* calculate the node counts in k(th) level 
3.   \* 
4.   \* @param   k   the level, its value must be 1 <= k <= tree height 
5.   \*/  
6.  **template** <**typename** Type>  
7.  **int** GetNodeCountsKthLevel( BiNode<Type> \*root, **int** k)  
8.  \{  
9.      //检测k否超过二叉树的高度  
10.     **if** (root == NULL || k < 1 || k > GetBinTreeHeight(root))  
11.         **return** 0;  
12.   
13.     **if**(k == 1)  
14.         **return** 1;  
15.   
16.     **return** GetNodeCountsKthLevel(root->left, k - 1) \\  
17.         + GetNodeCountsKthLevel(root->right, k - 1);  
18. \}

这里为了增强代码的鲁棒性，加入了对传入参数k的合法性的检验k本身的取值范围应该是：1 =< k <= tree height

### 5.叶子节点的个数 ###

和前面的道理一样，在二叉树的操作中，递归才是王道。。。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* calculate the leaf node counts 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **int** GetLeavesCounts( BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **if** (root == NULL)  
8.          **return** 0;  
9.    
10.     **if**(root->left == NULL && root->right == NULL)  
11.         **return** 1;  
12.   
13.     **return** GetLeavesCounts(root->left) + GetLeavesCounts(root->right);  
14. \}

### 6.二叉树节点的个数 ###

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* calculate the tree's node counts 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **int** GetNodeCounts( BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **if**(root == NULL)  
8.      **return** 0;  
9.    
10.     **return** GetNodeCounts(root->left) + GetNodeCounts(root->right) + 1;  
11. \}

也可以通过传入参数，通过先序遍历的思想，每访问一个节点就将计数器加1，直到遍历完所有节点为止。

### 7.二叉排序树转换成排序的双向链表 ###

这个已经在前面的博客中写过，详见： [http://blog.csdn.net/anonymalias/article/details/9204825][http_blog.csdn.net_anonymalias_article_details_9204825]

### 8.二叉树的子结构 ###

二叉树的子结构的定义是：一个二叉树为另一个二叉树的子集，如下图所示：

![SouthEast 1][]  
Fig 2 B为A的一个子结构

那么对于这个题目的解题思路是：在A中查找与B根节点相同的节点X，找到后将该节点X的左右子树与B的左右子树依次比较，如果B的所有节点都在X的左右子树中，那么就认为B是A的子结构，如果B的所有节点不都在X的左右子树中，那么在A中继续查找另外一个X节点，直到结束。下面是代码：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the binary tree 'rootB' is a substructure of 'rootA'or not 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **bool** IsSubStruct(BiNode<Type> \*rootA, BiNode<Type> \*rootB)  
6.  \{  
7.      **if** (rootA == NULL || rootB == NULL)  
8.          **return** **false**;  
9.    
10.     **bool** result = **false**;  
11.   
12.     **if** (rootA->data == rootB->data)  
13.         result = ISSameStruct(rootA, rootB);  
14.   
15.     **if**(!result)  
16.         result = IsSubStruct(rootA->left, rootB);  
17.     **if**(!result)  
18.         result = IsSubStruct(rootA->right, rootB);  
19.   
20.     **return** result;  
21. \}  
22.   
23. //用于判断二叉树B是否是A开始的一部分  
24. **template**<**typename** Type>  
25. **bool** ISSameStruct(BiNode<Type> \*rootA, BiNode<Type> \*rootB)  
26. \{  
27.     **if**(rootB == NULL)  
28.         **return** **true**;  
29.       
30.     **if**(rootA == NULL)  
31.         **return** **false**;  
32.   
33.     **if**(rootA->data != rootB->data)  
34.         **return** **false**;  
35.   
36.     **return** ISSameStruct(rootA->left, rootB->left) && ISSameStruct(rootA->right, rootB->right);  
37. \}

### 8.二叉树的镜像 ###

二叉树镜像的概念就是左右子树交换，所以判断起来也很简单，代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the binary tree 'rootA' is a mirror of 'rootB' or not 
3.   \*/  
4.  **template**<**typename** Type>  
5.  **bool** ISMirror(BiNode<Type> \*rootA, BiNode<Type> \*rootB)  
6.  \{  
7.      **if**(rootA == NULL && rootB == NULL)  
8.          **return** **true**;  
9.    
10.     **if**(rootA == NULL || rootB == NULL)  
11.         **return** **false**;  
12.   
13.     **if**(rootA->data != rootB->data)  
14.         **return** **false**;  
15.   
16.         **return** ISMirror(rootA->left, rootB->right) && ISMirror(rootA->right, rootB->left);  
17. \}

如果将ISMirror递归部分换成如下的代码，就是判断两棵二叉树是否相同。

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  **return** ISMirror(rootA->left, rootB->left) && ISMirror(rootA->right, rootB->right);

### 9.平衡二叉树的判断 ###

我们都知道平衡二叉树的定义：空树或左右子树的高度差不超过1，且左右子树也都是平衡二叉树。代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the binary tree whether it is a balanced tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **bool** IsBalanced(BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **int** height = 0;  
8.    
9.      **return** SubIsBalanced(root, height);  
10. \}  
11.   
12. **template** <**typename** Type>  
13. **bool** SubIsBalanced(BiNode<Type> \*root, **int** &height)  
14. \{  
15.     **if**(root == NULL)  
16.     \{  
17.         height = 0;  
18.         **return** **true**;  
19.     \}  
20.   
21.     **int** lH, rH;  
22.     **int** result = SubIsBalanced(root->left, lH) && SubIsBalanced(root->right, rH);  
23.   
24.     **if** (result)  
25.     \{  
26.         **if**(lH - rH <= 1 && lH - rH >= -1)  
27.         \{  
28.             height = (lH > rH ? lH + 1 : rH + 1);  
29.             **return** **true**;  
30.         \}  
31.     \}  
32.   
33.     **return** **false**;  
34. \}

### 10.完全二叉树的判断 ###

完全二叉树的定义如下：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。判断一棵树是否是完全二叉树，我见过最简单的方法是：通过广度遍历即层次遍历的思想，将各个节点入队列，对于存在空洞的节点（ **左右孩子的节点存在NULL**），把它的两个孩子也入队列，当访问到队列中为NULL的节点，根据完全二叉树的定义，此时二叉树已经结束，即队列中的其他元素全部为NULL，否则该树不是完全二叉树。代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the binary tree whether it is a completed tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **bool** IsCompletedBiTree(BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **if**(root == NULL)  
8.          **return** **true**;  
9.    
10.     queue<BiNode<Type> \*> nodeQue;  
11.     nodeQue.push(root);  
12.   
13.     **while**(!nodeQue.empty())  
14.     \{  
15.         BiNode<Type> \*node = nodeQue.front();  
16.         nodeQue.pop();  
17.   
18.         **if** (node == NULL)  
19.         \{  
20.             **while** (!nodeQue.empty())  
21.             \{  
22.                 **if**(nodeQue.front() != NULL)  
23.                     **return** **false**;  
24.   
25.                 nodeQue.pop();  
26.             \}  
27.   
28.             **return** **true**;  
29.         \}  
30.           
31.         nodeQue.push(node->left);  
32.         nodeQue.push(node->right);  
33.     \}  
34.   
35.         //实际上不会执行到这一步  
36.     **return** **true**;  
37. \}

### 11.满二叉树的判断 ###

满二叉树的判断相对比较简单，可以通过判断每个节点的左右子树的高度是否相同来实现，满二叉树的所以节点的左右子树的高度都是一样的。代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the binary tree whether it is a full tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **bool** IsFullBiTree(BiNode<Type> \*root)  
6.  \{  
7.      **if**(root == NULL)  
8.          **return** **true**;  
9.    
10.     **int** height;  
11.     **return** SubIsFullBiTree(root, height);  
12. \}  
13.   
14. **template** <**typename** Type>  
15. **bool** SubIsFullBiTree(BiNode<Type> \*root, **int** &height)  
16. \{  
17.     **if**(root == NULL)  
18.     \{  
19.         height = 0;  
20.         **return** **true**;  
21.     \}  
22.   
23.     **int** lH, rH;  
24.     **if** (SubIsFullBiTree(root->left, lH) && SubIsFullBiTree(root->right, rH))  
25.     \{  
26.         **if** (lH == rH)  
27.         \{  
28.             height = lH + 1;  
29.             **return** **true**;  
30.         \}  
31.     \}  
32.   
33.     **return** **false**;  
34. \}

### 12.重建二叉树 ###

根据二叉树的先序和中序遍历的结果（不含有重复的节点），重建此二叉树，该题的的解决思路也是通过二叉树递归定义的思想。我们知道二叉树先序遍历的一个节点，在中序遍历中会把以该节点为根的二叉树分为左右两部分，根据这点，可以递归的重建二叉树，具体代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* rebuild the binary tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  BiNode<Type> \* RebuildBiTree(**const** Type \*pre, **const** Type \*in, **int** len)  
6.  \{  
7.      **if**(pre == NULL || in == NULL || len <= 0)  
8.          **return** NULL;  
9.    
10.     BiNode<Type> \* root = **new** BiNode<Type>;  
11.     root->data = pre\[0\];  
12.   
13.     **int** index;  
14.     **for** (index = 0; index < len; ++index)  
15.     \{  
16.         **if** (in\[index\] == pre\[0\])  
17.             **break**;  
18.     \}  
19.           
20.     //can not find the 'pre\[0\]' in the 'in\[\]'  
21.     **if**(index == len)  
22.         **return** NULL;  
23.   
24.     root->left = RebuildBiTree(pre + 1, in, index);  
25.     root->right = RebuildBiTree(pre + index + 1, in + index + 1, len - index - 1);  
26.   
27.     **return** root;  
28. \}

### 13.判断序列是否是二叉排序树的后序遍历序列 ###

我们都知道二叉排序树的中序遍历的结果是一个递增序列，后序遍历序列最后的元素是根节点，通过最后的元素将遍历序列分割成两部分，左半部分都小于根节点的值，右半部分都大于该节点的值，如果不能分成这两部分，那么该序列就不是二叉排序树的后序遍历序列。代码如下：

**\[cpp\]**  [view plain][Link 2] [copy][Link 2]

1.  /\*\* 
2.   \* judge the serial is post-order traversal of binary search tree 
3.   \*/  
4.  **template** <**typename** Type>  
5.  **bool** IsBSTPostOrder(**const** Type \*post, **int** len)  
6.  \{  
7.      **if**(post == NULL || len <= 0)  
8.          **return** **false**;  
9.    
10.     **int** index;  
11.       
12.     //查找小于根节点的左子树节点  
13.     **for** (index = 0; index < len - 1; ++index)  
14.     \{  
15.         **if**(post\[index\] > post\[len - 1\])  
16.             **break**;  
17.     \}  
18.   
19.     //判断剩下的节点是否都为右子树的节点，即是否都大于根节点的值  
20.     **for** (**int** i = index; i < len - 1; ++i)  
21.     \{  
22.         **if**(post\[i\] < post\[len - 1\])  
23.             **return** **false**;  
24.     \}  
25.   
26.     **bool** result = **true**;  
27.   
28.     **if**(index > 0)  
29.         result = IsBSTPostOrder(post, index);  
30.     **if**(result && index < len - 1)  
31.         result = IsBSTPostOrder(post + index, len - index - 1);  
32.   
33.     **return** result;  
34. \}

就先写这么多吧，后面还会继续添加，累死了。。。  
**有新的问题大家可以提出来，一起讨论，共同进步**...<^\_^>。。。  
  
Sept 2nd - 3rd, 2013 @lab

[Link 1]: http://blog.csdn.net/anonymalias/article/details/10897009
[Link 2]: http://blog.csdn.net/anonymalias/article/details/10897009#
[SouthEast]: /images/20221022/917c57465a424ce89ff4205836f57c93.png
[http_blog.csdn.net_anonymalias_article_details_9204825]: http://blog.csdn.net/anonymalias/article/details/9204825
[SouthEast 1]: /images/20221022/7629619c42544813831251c881764df5.png