【光波电子学】MATLAB绘制平面介质中的波场-以TE波为例

红太狼 2022-11-15 03:43 181阅读 0赞

# 1 理论 #

以TE波为例进行探讨波导模式的本征方程，由于E(x,y)仅含Ey分量，其波动方程简化为  
（1）波导层波动方程  
 ∂ 2 ∂ x 2 E y ( x , y ) + ( k 0 2 n 1 2 − β 2 ) E y ( x , y ) = 0 （ − d < = x < = 0 ） \\frac\{\\partial ^2\}\{\\partial x^2\}E\_y(x,y) + (k\_0^2n\_1^2 -\\beta ^2)Ey(x,y) =0 （-d<=x<=0） ∂x2∂2Ey(x,y)\+(k02n12−β2)Ey(x,y)=0（−d<=x<=0）  
（2）衬底层波动方程  
 ∂ 2 ∂ x 2 E y ( x , y ) + ( k 0 2 n 2 2 − β 2 ) E y ( x , y ) = 0 （ x < = − d ） \\frac\{\\partial ^2\}\{\\partial x^2\}E\_y(x,y) + (k\_0^2n\_2^2 -\\beta ^2)Ey(x,y) =0 （x<=-d） ∂x2∂2Ey(x,y)\+(k02n22−β2)Ey(x,y)=0（x<=−d）  
（3）覆盖层波导方程  
 ∂ 2 ∂ x 2 E y ( x , y ) + ( k 0 2 n 3 2 − β 2 ) E y ( x , y ) = 0 （ x > = 0 ） \\frac\{\\partial ^2\}\{\\partial x^2\}E\_y(x,y) + (k\_0^2n\_3^2 -\\beta ^2)Ey(x,y) =0 （x>=0） ∂x2∂2Ey(x,y)\+(k02n32−β2)Ey(x,y)=0（x>=0）

满足波导条件 k 0 n 2 < β < k 0 n 1 k\_0n\_2 < \\beta < k\_0n\_1 k0n2<β<k0n1及边界连续条件（x=0及x=-d处 E y E\_y Ey， ∂ E y ∂ x \\frac\{\\partial E\_y\}\{\\partial x\} ∂x∂Ey连续）的模场表达式为

E y ( x ) = \{ A e − q x x > 0 A \[ c o s h x − ( q / h ) s i n h x \] − d ≤ x ≤ 0 e p ( x + d ) A \[ c o s h d + ( q / h ) s i n h d \] x ≤ − d E\_y(x) = \\begin\{cases\} A e^\{-qx\}& x >0 \\\\ A\[coshx -(q/h)sinhx\] & -d \\leq x \\leq 0\\\\ e^\{p(x+d)\}A\[coshd+(q/h)sinhd\] & x \\leq -d \\end\{cases\} Ey(x)=⎩⎪⎨⎪⎧Ae−qxA\[coshx−(q/h)sinhx\]ep(x\+d)A\[coshd\+(q/h)sinhd\]x>0−d≤x≤0x≤−d

其中， h = k 0 2 n 1 2 − β ， q = β 2 − k 0 2 n 3 2 ， p = β 2 − k 0 2 n 2 2 h =\\sqrt\{k\_0^2n\_1^2 - \\beta\}，q=\\sqrt\{\\beta^2 -k\_0^2n\_3^2\}，p =\\sqrt\{\\beta^2 -k\_0^2n\_2^2\} h=k02n12−β，q=β2−k02n32，p=β2−k02n22

# 2 Matlab 实现 #

实现以上公式的不同条件下的模式场分布  
对于公式中的A、q、h、p全部设置为常数，可以通过改变d值的大小，改变曲线的形状

clc
    clear all
    % 公共参数
    A =2;
    q = 1;
    h = 1;
    p =1;
    % 第一条曲线
    
    d0 = 5;
    x10 = [0:0.1:10];
    x11 = [-d0:0.1:0];
    x12 = [-20:0.1:-d0];
    y10 = A*exp(-q.*x10);
    y11 = A*(cos(h.*x11)-(q/h).*sin(h.*x11));
    y12 = A*exp(p.*(x12+d0)).*(cos(h*d0)+(q/h)*sin(h*d0));
    axis([-20,20,-20,10])  
    % 第二条曲线
    % 在y后面+4只是为了让曲线平移，不改变曲线形状
    d1 = 1;
    x20 = [0:0.1:10];
    x21 = [-d1:0.1:0];
    x22 = [-20:0.1:-d1];
    y20 = A*exp(-q.*x20)+4;
    y21 = A*(cos(h.*x21)-(q/h).*sin(h.*x21))+4;
    y22 = A*exp(p.*(x22+d1)).*(cos(h*d1)+(q/h)*sin(h*d1))+4
    axis([-20,20,-20,10])   
    % 第三条曲线
    
    d2 = 8;
    x30 = [0:0.1:10];
    x31 = [-d2:0.1:0];
    x32 = [-20:0.1:-d2];
    y30 = A*exp(-q.*x30)+8;
    y31 = A*(cos(h.*x31)-(q/h).*sin(h.*x31))+8;
    y32 = A*exp(p.*(x32+d2)).*(cos(h*d2)+(q/h)*sin(h*d2))+8
    axis([-20,20,-20,10])   
    plot(y10,x10,'r',y11,x11,'r',y12,x12,'r',y20,x20,'b',y21,x21,'b',y22,x22,'b',y30,x30,'g',y31,x31,'g',y32,x32,'g');

由图可见，波导中的电磁场主要集中于芯区，但并非封闭于芯区，在衬底与覆盖层中也有电磁场  
存在。它紧贴着导波区，并沿其外法线方向场指数衰减  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70]

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