PyTorch教程（十一）：多输出的感知机以及梯度

淩亂°似流年 2022-10-31 13:59 191阅读 0赞

上一节中介绍了单层感知机，感知机的输出节点只有一个，只有 O 0 O\_0 O0没有 O 1 O\_1 O1。对于单层感知机的梯度下降公式如下：  
 ∂ E ∂ w j 0 = ( O 0 − t ) ∗ O 0 ( 1 − O 0 ) x j 0 \\frac \{\\partial E\}\{\\partial w\_\{j0\}\} = (O\_0 -t)\*O\_0(1-O\_0)x\_j^0 ∂wj0∂E=(O0−t)∗O0(1−O0)xj0  
即对参数 w j 0 w\_\{j0\} wj0的梯度。可以看出 w j 0 w\_\{j0\} wj0的梯度跟这一层的输出权值以及 x j 0 x\_\{j0\} xj0有关。

# 多层感知机模型 #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
其中 x k 1 x\_k^1 xk1表示第一层感知机的第k号节点， O k 1 O\_k^1 Ok1表示经过激活函数后的数值， w j k 1 w\_\{jk\}^1 wjk1表示上一层的第j个节点和对应这一层的第k个节点。

## 多层感知机梯度 ##

E = 1 2 ∑ ( O i 1 − t i ) 2 当 k = i 时 ， 才 有 意 义 ， 因 此 ∂ E ∂ w j k = ( O k − t k ) ∂ O k ∂ w j k ∂ E ∂ w j k = ( O k − t k ) ∂ σ ( x k ) ∂ w j k ∂ E ∂ w j k = ( O k − t k ) σ ( x k ) ( 1 − σ x ( k ) ) ∂ x k 1 ∂ w j k ∂ E ∂ w j k = ( O k − t k ) O k ( 1 − O k ) x j 0 E = \\frac \{1\}\{2\}\\sum(O\_i^1 - t\_i)^2 \\\\ 当k=i时，才有意义，因此 \\frac \{\\partial E\}\{\\partial w\_\{jk\}\} = (O\_k - t\_k)\\frac \{\\partial O\_k\}\{\\partial w\_\{jk\}\} \\\\ \\frac \{\\partial E\}\{\\partial w\_\{jk\}\} = (O\_k - t\_k)\\frac \{\\partial \\sigma(x\_k)\}\{\\partial w\_\{jk\}\} \\\\ \\frac \{\\partial E\}\{\\partial w\_\{jk\}\} =(O\_k - t\_k) \\sigma (x\_k)(1-\\sigma x(k)) \\frac \{\\partial x\_k^1\}\{\\partial w\_\{jk\}\} \\\\ \\frac \{\\partial E\}\{\\partial w\_\{jk\}\} =(O\_k - t\_k) O\_k(1-O\_k) x\_j^0\\\\ E=21∑(Oi1−ti)2当k=i时，才有意义，因此∂wjk∂E=(Ok−tk)∂wjk∂Ok∂wjk∂E=(Ok−tk)∂wjk∂σ(xk)∂wjk∂E=(Ok−tk)σ(xk)(1−σx(k))∂wjk∂xk1∂wjk∂E=(Ok−tk)Ok(1−Ok)xj0

## PyTorch实现 ##

from torch.nn import functional as F
    
    x = torch.randn(1,10)
    w = torch.randn(2,10,requires_grad = True)
    o = torch.sigmoid(x@w.t())
    o.shape # torch.Size([1, 2])
    loss = F.mse_loss(torch.ones(1,2),o) # tensor(0.1849, grad_fn=<MseLossBackward>)
    loss.backward()
    w.grad
    # tensor([[ 0.1048, 0.0295, 0.0433, 0.0624, 0.0105, -0.0463, 0.0789, -0.0975,
    # -0.0250, -0.0553],
    # [ 0.1950, 0.0549, 0.0805, 0.1162, 0.0196, -0.0862, 0.1467, -0.1815,
    # -0.0464, -0.1029]])

其实多输出的感知机已经不能叫做感知机了，因为感知机的定义就是一个单一输出的。而多输出的感知机相当于标准全连接层的输出层。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221024/60f7289de9684f2b83809d98f169cf68.png