【点云配准】点云配准中常用的评价指标（豪斯多夫距离/Hausdorff Distance、倒角距离/Chamfer Distance和陆地移动距离/Earth Mover‘s Distan

本是古典何须时尚 2022-10-31 08:13 1722阅读 0赞

# 1.概述 #

在点云配准问题中，我们通常会用相似性测度来评价两组点云之间的匹配程度，或作为迭代求解的代价方程（cost function），常见的相似性测度有均方误差（Root Mean Square Error（RMSE）、最大公共点集（Largest Common Pointset，LCP） 等。此外，还有豪斯多夫距离（Hausdorff Distance，HD）、倒角距离（Chamfer Distance，CD）和陆地移动距离（Earth Mover’s Distance，EMD）等指标也可被用于评价点云之间的匹配程度。

# 2.豪斯多夫距离（Hausdorff Distance，HD） #

Hausdorff距离描述了度量空间中真子集之间的距离。假设有两个集合 A = \{ a 1 , . . . , a p \} A=\\\{a\_1,...,a\_p\\\} A=\{ a1,...,ap\}和 B = \{ b 1 , . . . , b q \} B=\\\{b\_1,...,b\_q\\\} B=\{ b1,...,bq\}，则这两个集合之间的Hausdorff距离定义为：

H ( A , B ) = m a x ( h ( A , B ) , h ( B , A ) ) (1) H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A)) \\tag\{1\} H(A,B)=max(h(A,B),h(B,A))(1)

\{ h ( A , B ) = max ⁡ a ∈ A min ⁡ b ∈ B ∣ ∣ a − b ∣ ∣ h ( B , A ) = max ⁡ b ∈ B min ⁡ a ∈ A ∣ ∣ b − a ∣ ∣ (2) \\begin\{cases\} h(A,B)=\\max\_\{a\\in A\} \\min\_\{b\\in B\}||a-b|| \\\\ h(B,A)=\\max\_\{b\\in B\} \\min\_\{a\\in A\}||b-a|| \\end\{cases\} \\tag\{2\} \{ h(A,B)=maxa∈Aminb∈B∣∣a−b∣∣h(B,A)=maxb∈Bmina∈A∣∣b−a∣∣(2)

其中， H ( A , B ) H(A,B) H(A,B)被称为集合A和B之间的双向Hausdorff距离， h ( A , B ) h(A,B) h(A,B)被称为从集合A到集合B的单向Hausdorff距离。

# 3.倒角距离（Chamfer Distance，CD） #

给定两个点集 S 1 S\_1 S1和 S 2 S\_2 S2，它们之间的Chamfer Distance定义为：

d C D ( S 1 , S 2 ) = 1 S 1 ∑ x ∈ S 1 min ⁡ y ∈ S 2 ∣ ∣ x − y ∣ ∣ 2 2 + 1 S 2 ∑ y ∈ S 2 min ⁡ x ∈ S 1 ∣ ∣ x − y ∣ ∣ 2 2 (3) d\_\{CD\}(S\_1,S\_2)=\\frac\{1\}\{S\_1\}\\sum\_\{x\\in S\_1\}\\min\_\{y\\in S\_2\}||x-y||\_2^2+\\frac\{1\}\{S\_2\}\\sum\_\{y\\in S\_2\}\\min\_\{x\\in S\_1\}||x-y||\_2^2 \\tag\{3\} dCD(S1,S2)=S11x∈S1∑y∈S2min∣∣x−y∣∣22\+S21y∈S2∑x∈S1min∣∣x−y∣∣22(3)

# 4.陆地移动距离（Earth Mover’s Distance，EMD） #

给定两个点集 S 1 S\_1 S1和 S 2 S\_2 S2，它们之间的Earth Mover’s Distance定义为：

d E M D ( S 1 , S 2 ) = min ⁡ ϕ : S 1 → S 2 ∑ x ∈ S 1 ∣ ∣ x − ϕ ( x ) ∣ ∣ 2 , ϕ : S 1 → S 2 为 一 个 双 射 (4) d\_\{EMD\}(S\_1,S\_2)=\\min\_\{\\phi:S\_1\\rightarrow S\_2\}\\sum\_\{x\\in S\_1\}||x-\\phi(x)||\_2, \\phi: S\_1\\rightarrow S\_2为一个双射 \\tag\{4\} dEMD(S1,S2)=ϕ:S1→S2minx∈S1∑∣∣x−ϕ(x)∣∣2,ϕ:S1→S2为一个双射(4)