一元线性回归模型数据_第二章一元线性回归模型1

ゝ一纸荒年。 2022-10-24 15:23 247阅读 0赞

一元线性回归模型也称为简单回归模型，它是用来研究两个变量之间的关系。理解并熟练运用简单回归模型，对后面几章多元回归模型的学习是非常有帮助的。

## **2.1****回归分析概述** ##

### **2****.1.1****回归分析的基本概念** ###

“回归”这一概念是19世纪80年代由英国统计学家高尔顿在研究父代身高和子代身高之间的关系时提出来的。他发现在同一族群中，子代的平均身高介于其父代的身高和族群的平均身高之间，即：高个子父亲的儿子的身高有低于其父亲身高的趋势，而矮个子父亲的儿子的身高则有高于其父亲的趋势；也就是说，子代的身高有向族群平均身高“回归”的趋势。这就是统计学上“回归”的最初含义。

如今，回归已经成为社会科学定量研究方法中最基本、应用最广泛的一种数据分析技术。它既可以用来描述自变量与因变量之间的数量关系，也可以基于自变量的取值变化对因变量的取值变化进行预测，更可以用来揭示自变量与因变量之间的因果关系。

在计量经济学中，回归分析方法是研究某一变量关于另一(些)变量间数量依赖关系的一种方法，即通过后者观测值或预设值来估计或预测前者的(总体)均值。前一个变量称为被解释变量(explained variable)或因变量(dependent variable)，后一个变量称为解释变量(explanatory variable)或自变量(independent variable)。回归分析方法是计量经济学理论的基础方法，其主要内容包括：

(1)根据样本观察值对计量经济学模型参数进行估计，求得回归方程；

(2)对回归方程、参数估计值进行显著性检验；

(3)利用回归方程进行分析、评价及预测。

## **2****.1.2****回归模型** ##

一个应用计量经济分析一般是从这样的假设前提开始的：y和x是两个代表某个总体的变量，我们感兴趣的是“用x来解释y”，或“研究y如何随x而变化”。例如：y是消费支出，x是收入；y是工资，x是受教育年数。

在构建x与y关系间的模型时，需要考虑以下三个问题。首先，除了x影响因素外，是否还有其他影响y的影响因素，如果有，我们将如何考虑？其次，y和x的函数关系形式我们将如何设定？再者，若假设其他条件不变，如何刻画x和y间关系？

我们不妨将x和y之间的关系表达式写成如下形式：

![09e258543e5d745b833fe05b0a775f0c.png][]                            (2.1.1)

这样我们就定义了变量x和y之间的一个简单线性回归模型，也称为两变量或一元线性回归模型。其线性的含义表示无论变量x的取值如何，它的任何一单位变化都对变量y产生相同的影响。

在实践中，在方程(2.1.1)中，变量u称为随机误差项(stochastic error)或随机干扰项(stochastic disturbance)，表示除影响因素x以外，其他所有影响y的因素，包括可观测或不可观测的影响因素。而![7b70bd7b99ed545d1d9c3aeb180adc06.png][]、![724d32982569449e15c29ae0f7e62fca.png][]是模型的估计参数，由样本数据估计而得，即![724d32982569449e15c29ae0f7e62fca.png][]表示斜率参数，是研究者主要关注的；![7b70bd7b99ed545d1d9c3aeb180adc06.png][]表示截距项参数，也称为常数项。表2.1.1总结了这些术语。其中，因变量和自变量的叫法在计量经济学中使用较多；而被解释和解释变量这两个词是最具描述性的；同时响应和控制常出现在实验性科学中，代表着变量x在实验者的控制之下。

表2.1.1  简单回归中的术语

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>y</td> 
 <td>x</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>因变量</td> 
 <td>自变量</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>被解释变量</td> 
 <td>解释变量</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>响应变量</td> 
 <td>控制变量</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>被预测变量</td> 
 <td>预测变量</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>回归子</td> 
 <td>回归元</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

例2.1.1：一个简单的工资方程

![abe58054ca700254b760fe05c6ca5063.png][]                        (2.1.2)

上述函数关系描述了受教育年限![eb59b13930565c9f6df46cafe2ea0eb4.png][]和其他不可观测因素![efca5c79a6df45a6462203b69ac5948d.png][]与工资![8616cfce81fd619aab97f7bcaf3d6aff.png][]之间的关系。β1衡量的是，在其他因素(包含在误差项u里面)不变的情况下，多接受一年教育，可以增加多少工资。而其他因素则包括：劳动力市场经验、内在的能力、目前所从事工作的工龄、职业道德，以及其他许多因素。

有了以上的设定，现在我们给出总体回归模型的定义。在一个总体中，影响每个个体y的影响因素有x，建立计量经济学模型：

![b41d9c1a841cad1a1c2c60bb706d43f7.png][]                          (2.1.3)

不妨假定u的数学期望为零，如果它不为零，则可以合并到![7b70bd7b99ed545d1d9c3aeb180adc06.png][]中。(2.1.3)式称为总体回归模型。![5ab8bdd58243e07431d6bdb323ca086b.png][]称为总体回归函数。

我们假设有关于总体一次抽样的样本数据![326a1d1898aa609020516b7f6fa77ab5.png][]、![916e018aa1ee490cd0c0ce3379c15fda.png][](i=1,2,┄,n)，样本回归模型可以写为：

![4d77d9527642cb4b6a2a2cbf0d927c22.png][]                         (2.1.4)

则当![326a1d1898aa609020516b7f6fa77ab5.png][]给定时，![916e018aa1ee490cd0c0ce3379c15fda.png][]的期望可以写为

![856f1cb3ac8df2afc187d87732108a65.png][]                        (2.1.5)

但在实际研究中，我们无法得到总体的回归方程，只能通过样本数据对总体参数![7b70bd7b99ed545d1d9c3aeb180adc06.png][]和![724d32982569449e15c29ae0f7e62fca.png][]进行估计。当利用样本统计量![024ca1418435009560275e1fa02f6c2b.png][]和![2708df2dee6184e178611c9b41ec8067.png][]代替总体回归方程中的![7b70bd7b99ed545d1d9c3aeb180adc06.png][]和![724d32982569449e15c29ae0f7e62fca.png][]，就得到了样本回归函数：

这样我们得到了![ed9790cb54180a95393c7276a9e4dfed.png][]的估计量![d6e90ce5e36dd327bcca4ad72239720c.png][]，同样地，样本回归模型有如下随机形式：

![775c34319e2ef32b8417844061fd367b.png][]                             (2.1.6)

其中e称为残差项(residual)，它可以看成是u的估计量。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，而样本回归函数为：

![8e042de9bc707f4137cd9fd925f5c9a5.png][]                            (2.1.7)

回归分析的主要目的，就是根据样本回归函数，估计总体回归函数。

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