159-解决约瑟夫环的问题(两种方法)

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-10-24 02:04 132阅读 0赞

**题目如下：**  
据说著名犹太历史学家 Josephus 有过以下故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与 Josephus 及他的朋友躲到一个洞中，39 个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一种自杀方式，41 个人排成一个圆圈，由第 1 个人开始报数，报数到 3 的人就自杀，然后再由下一个人重新报 1，报数到 3 的人再自杀，这样依次下去，直到剩下最后一个人时，那个人可以自由选择自己的命运。这就是著名的约瑟夫问题。现在请用单向环形链表得出最终存活的人的编号。

**n 表示环形链表的长度， m 表示每次报数到 m 就自杀**

## 解题方法1（递归） ##

如果只求最后一个报数胜利者的话，我们可以用数学归纳法解决该问题，为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：  
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人 继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是(m%n)-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2并且从k开始报0。

**现在我们把他们的编号做一下转换：**  
k --> 0  
k+1 --> 1  
k+2 --> 2  
…  
…  
k-2 --> n-2  
k-1 --> n-1  
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解： 例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x’=(x+k)%n  
**令f\[i\]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f\[n\]。**  
递推公式:  
f\[1\]=0;  
f\[i\]=(f\[i-1\]+m)%i; (i>1)  
有了这个公式，我们要做的就是从n-1顺序算出f\[i\]的数值，最后结果是f\[n\]。 因为实际生活中编号总是从1开始，我们应该输出f\[n\]+1。

#include<stdio.h>
    int LastRemaining_Solution(unsigned int n, unsigned int m)
        {
        
            if(n==0)
                return -1;
            if(n==1)
                return 0;
            else
                return (LastRemaining_Solution(n-1,m)+m)%n;
        }
    
    int main()
    {
        
    	printf("%d\n",LastRemaining_Solution(5,3));
    	//输出结果为编号3，也就是第4个人
    	return 0;
    }

## 方法2（常规方法） ##

#include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    
    //约瑟夫环
    int JosephProblem(int n)
    {
        
    	//创建n个标记
    	int *arr = (int *)calloc(n,sizeof(int));
    	//默认每个都是0 ,0表示还在游戏,1表示退出
    	int i = 0;//arr下标
    	int count = n;//还在游戏的人数
    	int tmp = 0;//报数器
    
    	while(count > 1)//有1个以上的人在游戏
    	{
        
    		if(arr[i] == 0)
    		{
        
    			tmp++;
    			if(tmp == 3)//退出游戏
    			{
        
    				arr[i] = 1;
    				count--;//还在游戏的人数减一
    				tmp = 0;//报数器还原
    			}
    		}
    		i = (i+1)%n;//此时使用i++;是error的  因为我们要处理环形
    	}
    
    	//找到还在游戏的人
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
        
    		if(arr[i] == 0)
    			break;
    	}
    	free(arr);
    
    	return i+1;
    }
    
    int main()
    {
        
    	int n=JosephProblem(5);
    	printf("%d\n",n);
    	//输出结果为4，也就是第4个人
    	return 0;
    }