数据结构复习笔记

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-10-19 04:14 226阅读 0赞

# 一、绪论 #

## 1、数据结构术语 ##

1.数据：是描述客观事物的符号，是计算机中可以操作的对象，是能被计算机识别，并 输入给计算机处理的符号集合。  
2.数据对象：性质相同的数据元素的集合，数据的一个子集。  
3.数据元素：数据元素是数据的基本单位，也叫做节点或记录。在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。  
4.数据项：数据项是数据的不可分割的最小单位。一个数据元素可由若干个数据项组成  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

## 2、数据结构三要素 ##

*  数据存储结构：物理结构，数据真实存在计算机中的样子
    
     *  顺序存储：存放在地址连续的存储单位里
     *  链式存储：数据元素放在任意的存储单元里
     *  索引存储：建立附加的索引表来标识节点的地址
     *  散列存储：又哈希存储，由函数直接计算出存储位置
 *  数据逻辑结构
    
     *  线性结构
        
         *  线性表
         *  栈
         *  队列
         *  数组
     *  非线性结构
        
         *  树
         *  图
         *  集合
 *  数据运算  
    \- 运算的功能->（设计好)逻辑结构  
    \- 运算的具体实现->（用哪一种）存储结构  
    ![任何逻辑结构都有顺序、链式两种存储方式][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    ![线性表是基础，根据其变化可得出不同结构][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 3、算法及其分析 ##

### 1、基本概念 ###

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作

*  重要特性
    
     *  有穷性
     *  确定性
     *  可行性
     *  输入
     *  输出
 *  好的算法考虑的目标
    
     *  可读性
     *  健壮性
     *  正确性
     *  效率和低存储

### 2、时间复杂度 ###

抛开软硬件因素，由问题规模和输入的数据（性质）有关  
![计算步-->问题规模][--]  
这里采用的渐进分析的方法：  
![渐进分析][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在坐标上的图展示][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
因而可得出一下结论  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
难点：递归函数的复杂度分析，方法由两种：

*  其中的递归关系简单，直接分析法，如画树结构分析、迭代计算
 *  关系复杂，用计算法  
    ![找准对应，带入a,b，分析，得出结果][a_b]  
    ![例题][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
    例题：  
    ![递归][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
    ![解析][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

### 3、空间复杂度 ###

空间复杂度 S（n）指算法运行过程中所使用的辅助空间的大小，通常结合算法题考查。  
若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，则只需分析除输入数据和程序之外的临时分配的额外空间。  
算法原地工作是指所需辅助空间是常量，即 O（1）

# 二、线性表 #

## 基本概念 ##

具有相同数据类型的n个数据元素的有限序列，其中n为表长，当n=0时线性表是一个空表

*  表中元素的个数有限
 *  表中元素具有逻辑上的顺序性，有其先后次序
 *  表中元素表中元素都是数据元素，每个元素都是单个元素
 *  每个元素占有相同大小的存储空间
 *  ![线性表元素之间的关系][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

### 基本操作 ###

> InitList（&L）∶初始化表，构造一个空的线性表  
> Length （L）∶ 求表长，返回线性表L的长度，即L中数据元素的个数  
> LocateElem（L，e）∶按值查找操作，在表L中查找具有给定关键字值的元素  
> GetElem（L，i）∶按位查找操作，获取表L中第i个位置的元素的值 ListInsert  
> ListInsert（&L，i，e）∶插入操作。在表L中的第i个位置上插入指定元素  
> ListDelete（&L，i，&e）∶删除操作，删除表L中第i个位置的元素，并用e返回删除元素的值  
> PrintList（L）∶输出操作，按前后顺序输出线性表L的所有元素值  
> Empty （L）∶判空操作，若L为空表，则返回true，否则返回false  
> DestroyList（&L）∶销毁操作，销毁线性表，并释放线性表L所占用的内存空间

## 顺序表（线性表的顺序存储） ##

### 概念 ###

1.  线性表的顺序存储，用一组地址连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素
2.  常用一维数组存储

*  静态存储：空间大小固定，一旦定义，无法更改，可能会导致内存溢出
 *  动态存储：一旦数据空间占满，就另外开辟一块更大的存储空间，用以替换原来的存储空间，但要大量搬动元素导致效率低下

1.  可以任意（随机）存取

### 顺序表实现 ###

1.  插入：O(n）  
    ![插入时间复杂度分析][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]
2.  删除：O(n)  
    代码：  
    ![删除的时间复杂度分析][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]
3.  查找（按值查找）：O(n)  
    （1）表无序  
    ![按值查找---表无序][---]  
    （2）表有序：折半查找，  
    ![表有序][20210710110244926.png]

## 链表（线性表的链式存储） ##

### 单链表 ###

1、结点定义  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

有无头节点：

*  有头节点：判空，L->Next==NULL
 *  无头节点：判空，L==NULL  
    ![在这里插入图片描述][20210709121159188.png]  
    （或者可以把链表的元素个数存在头结点的data域）

2、单链表实现

1.  建立单链表
    
    1.  头插法
    2.  尾插法
2.  按值查找
3.  按序号查找值
4.  插入节点
5.  删除节点
6.  求表长

### 双链表 ###

1.  优点/引入：相较于单链表，方便访问节点的前驱节点，因此插入、删除操作的时间复杂度均为O(1)
2.  结点定义  
    ![在这里插入图片描述][20210709122154617.png]
3.  双链表实现  
    1.插入节点  
    2.删除节点

### 循环链表 ###

1.  循环单链表
    
    1.  仅带头指针
    2.  仅带尾指针  
        ![循环单链][2021070912275664.png]
2.  循环双链表  
    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]
3.  静态链表： 使用结构体结构，结点也有数据域 data和指针域 next。  
    静态链表以 next==-1 作为其结束的标志。  
    静态链表的插入、删除操作与动态链表的相同，只需要修改指针，而不需要移动元素。但同样不支持随机存取。只能从头节点开始…  
    总体来说，静态链表没有单链表使用起来方便，但在一些不支持指针的高级语言中（如Basic),则大有用处。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

# 栈和队列 #

![知识框架][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>考查重点</th> 
   <th>难点</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>出入栈的过程、出栈序列的合法性</td> 
   <td>算法设计题（少）</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>队列的操作及其特征</td> 
   <td>双端队列的特点</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>栈和队列的顺序、链式存储</td> 
   <td>栈和队列的常见应用</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>数组和特殊矩阵的压缩存储</td> 
   <td></td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 栈 ##

### 概念 ###

1.  定义：只允许在一端进行插入或删除操作的线性表  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]
2.  出栈序列：由数据出入栈顺序决定，原则是先进的先出  
    ![在这里插入图片描述][20210710111732514.png]
3.  栈的基本操作  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

### 顺序栈（栈的顺序存储） ###

#### 节点的结构类型 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
![top实为数组下标][top]  
注：有的可能初始时将S.top定义为 0，相当于规定 top指向栈顶元素的下一个存储单元。（不同的指针设计可能有不同的判空法）

#### 栈溢出 ####

![在这里插入图片描述][20210710123941692.png]

#### 栈的基本运算实现 ####

1.  初始化  
    ![在这里插入图片描述][20210710121049508.png]
2.  判空  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]
3.  进栈  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]  
    注意：top指向栈顶元素，初始化为S.top=-1; 若top 指向栈顶元素的下一个位置，即初始化为 S.top=0 ; 则：  
    \*\* 入栈：S.data\[S.top++\]=x;  
    \*\* 出栈：x=S.data\[–S.top\] ;  
    \*\* 栈空：S.top0;  
    \*\* 栈满：S.topMaxSize;
4.  出栈  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]
5.  读栈顶元素  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 22]
6.  共享栈  
    顺序存储分配的空间固定，为了更有效地利用存储空间，两个栈共享使用一个大空间，只有在整个存储空间被占满时才发生上溢。  
    两个顺序栈共享一个一维数组空间，数组的首地址和尾地址分别作为2个栈的栈底；  
    其存取数据的时间复杂度均为 O（1），存取效率没有影响；

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 23]  
![在这里插入图片描述][20210710122342347.png]

### 链栈（栈的链式存储） ###

#### 概念 ####

1.  定义：采用链式存储的栈，不存在栈满上溢的情况。
2.  常采用单链表实现，并规定所有操作都是在单链表的表头进行的
3.  节点类型  
    ![链栈节点][20210710162454496.png]  
    ![在这里插入图片描述][20210710162522450.png]

#### 链栈的实现 ####

1.  出栈
2.  入栈

总结：采用链式存储，便于结点的插入与删除。  
链栈的操作与链表类似，入栈和出栈的操作都在链表的表头进行。  
需要注意的是，对于带头结点和不带头结点的链栈，具体的实现会有所不同。

## 队列 ##

### 基本概念 ###

1.  定义：只允许在表的一端插入，而在另一端删除的线性表。 ![在这里插入图片描述][20210710163113443.png]
2.  常见的基本操作  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 24]

### 顺序队列 ###

#### 概念 ####

1.  队列的顺序存储：是指分配一块连续的存储单元存放队列中的元素，并附设两个指针  
    \***队头指针 front**：指向队头元素  
    \***队尾指针rear**：指向队尾元素的下一个位置（有的可能定义为— rear 指向队尾元素  
    对于不同的定义，出队入队的操作是不同的，可结合习题思考。
2.  节点类型：  
    ![在这里插入图片描述][20210710163734523.png]  
    ![在这里插入图片描述][20210710163827813.png]
3.  假溢出：还有空间，但因为错误的判满方法，导致判断队列已满，即为假溢出问题。如用：Q.rear= =MaxSize，或Q.rear==Q.front 判满 ，均导致此问题，解决假溢出问题，本质上 就是通过逻辑上的方法将队列设计为**循环顺序队列**  
    ![循环顺序队列][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 25]
4.  循环队列（逻辑上的）  
    初始时∶Q.front=Q.rear=0  
    队首指针进1∶Q.front=（Q.front+1）%MaxSize  
    队尾指针进1：Q.rear=（Qrear+1）%MaxSize  
    队列长度∶（Qrear+MaxSize-Qfront）%MaxSize
5.  那如何判断 队满或队空呢 ，从三个方面思考方法  
    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 26][]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 27]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 28]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 29]  
    总结：方法三最常用，

#### 循环队（顺序队）的基本操作实现 ####

1.初始化  
![在这里插入图片描述][20210710170932949.png]  
2. 判对空  
![在这里插入图片描述][20210710170955625.png]

1.  入队  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 30]
2.  出队  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 31]

### 链队 ###

#### 概念 ####

1.  定义：队列的链式表示称为链队列，它实际上是一个同时带有队头指针和队尾指针的单链表。
2.  当没有头节点时，头指针指向队头结点，尾指针指向队尾结点，即单链表的最后一个结点  
    ![在这里插入图片描述][20210710171503582.png]
3.  当有头节点时（不带头结点的链式队列在操作上往往比较麻烦  
    ），插入和删除操作即可统一  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 32]  
    此时，头节点类型为**下图**\-存储类型中的队列节点类型（同单链表）  
    具体为：  
    LinkQueue Q； //定义一个队列  
    LinkNode q； //定义一个头节点  
    Q.front=&q; //LinkNode 不是指针类型，用&取地址  
    Q.rear=&q;
4.  存储类型（需要注意有两种结构体）  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 33]

#### 链队的基本操作 ####

1.  初始化  
    ![6.][]
2.  判对空  
    ![在这里插入图片描述][20210710172908294.png]
3.  入队  
    ![在这里插入图片描述][20210710173127689.png]
4.  出队  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 34]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221005/9f4c8b08d5804c42afc5fe32d57fa58d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221005/8bc3d9f299634ec79a3f67c13a3affb3.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221005/a535121b53bb45ea95c174638485ad4f.png
[--]: /images/20221005/b34f53cd57a54e9da198a87e6f4e999e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20221005/2c3230a0fc744b3584d1b23ffaf5e14d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20221005/22b5461c1ec84a5fa6f09ae72e7c833c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3lheWFfMTIzNDU2Nzg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20221005/0fee0e12a9fc4430a4844a7d4723697a.png
[a_b]: /images/20221005/38b8e8c19cc04317b03f342586549f12.png
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