微积分02：定积分

川长思鸟来 2022-10-17 05:52 167阅读 0赞

##### 定积分 #####

当  ∣ ∣ Δ x ∣ ∣ → 0 || \\Delta x || \\to 0 ∣∣Δx∣∣→0时，总和S总是趋于确定的极限I，则称极限I为函数f(x) 在曲线\[a,b\]上的定积分。  
![70bbeaa04f72280407ef42ddbf5bb127.png][]  
积分值和被积函数与积分曲线有关，与积分变量字母无关。  
![751b3baf1c7843d4b7817921a3ba0f52.png][]  
当函数 f(x)在区间\[a,b\]上的定积分存在的时候，称 f(x)在 区间\[a,b\]上可积

##### 定积分的几何含义 #####

面积的正负值：![9000399ef3a919d80dc80a778a7497cb.png][]  
代数和，上方为正，下方为负。  
![c4d8e0a793425d393f3ebea4c8bbcd24.png][]

##### 例题 #####

![dd580c082d0c38c56b055200714c7903.png][]  
![3db669961fb3e3db1dfca7cbd2b35a0b.png][]

##### 定积分的性质 #####

![8ee66422bb218d260a38662ead8ae307.png][]

##### 第一中值定理 #####

如果函数 f ( x)在闭区间\[a,b\]上连续，则在积分区间\[a,b\]上至少存在一个点$ \\xi 使 \\int^a\_b f(x)dx=f(\\xi)(b-a). (a<= \\xi<=b)$  
![ee56e32a7dd0e6b37cf1b81c76e4c661.png][]

##### 积分上限函数 #####

函数f(x)在区间\[a,b\]上连续，对于定积分 ∫ b a f ( x ) d x \\int^a\_b f(x)dx ∫baf(x)dx每一个取值的x都有一个对应的定积分值。  
记作：  
![1340427a97a90b053093c2019f6945ab.png][]  
如果f(x) 在区间\[a,b\]上连续，则积分上限函数就是f(x) 在\[a,b\]上的 原函数。

[70bbeaa04f72280407ef42ddbf5bb127.png]: /images/20221014/572a4eb2eb2e43e8b5078e992cea4511.png
[751b3baf1c7843d4b7817921a3ba0f52.png]: /images/20221014/98e459ab8b754181b84f70f5cbf26d46.png
[9000399ef3a919d80dc80a778a7497cb.png]: /images/20221014/3f0418cb52124f90a311a7da31ce5e49.png
[c4d8e0a793425d393f3ebea4c8bbcd24.png]: /images/20221014/72bd8d803b7046e3affa3e0780d78181.png
[dd580c082d0c38c56b055200714c7903.png]: /images/20221014/a589b45c818a4e0ea9eb77fe648a0688.png
[3db669961fb3e3db1dfca7cbd2b35a0b.png]: /images/20221014/d0addca9fc7f42e494a6f3b1ff0454c9.png
[8ee66422bb218d260a38662ead8ae307.png]: /images/20221014/e29a86195e2e42d69a94218a8c15ecab.png
[ee56e32a7dd0e6b37cf1b81c76e4c661.png]: /images/20221014/4974a336801e4753b6c998fd9b357d27.png
[1340427a97a90b053093c2019f6945ab.png]: /images/20221014/7768b38a6247446789b2f409aa39b554.png