矩阵的秩到底描述了什么？

傷城~ 2022-10-13 12:34 109阅读 0赞

# 秩 #

1.  「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度。  
    假设原始向量`A(x,y)`是一个点，如果与矩阵 \[ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) s i n ( θ ) c o s ( θ ) \] \\begin\{bmatrix\} cos(\\theta) & -sin(\\theta) \\\\ sin(\\theta) & cos(\\theta) \\end\{bmatrix\} \[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)\]相乘之后得到， A ( x C o s ( θ ) + y S i n ( θ ) , − x S i n ( θ ) + y C o s ( θ ) ) A(xCos(\\theta)+ySin(\\theta),-xSin(\\theta)+yCos(\\theta)) A(xCos(θ)\+ySin(θ),−xSin(θ)\+yCos(θ))向量。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
相当于对矩阵进行了旋转。

因为矩阵 \[ c o s ( θ ) − s i n ( θ ) s i n ( θ ) c o s ( θ ) \] \\begin\{bmatrix\} cos(\\theta) & -sin(\\theta) \\\\ sin(\\theta) & cos(\\theta) \\end\{bmatrix\} \[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)\]的秩是2，所以旋转之后的维度也是2维。

如果我们通过矩阵  \[ 1 − 1 1 − 1 \] \\begin\{bmatrix\} 1 & -1 \\\\ 1 & -1 \\end\{bmatrix\} \[11−1−1\]进行变换：那么变换后的向量为： A ( x + y , − x − y ) A(x+y,-x-y) A(x\+y,−x−y)，变换后的图像为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
因此，此矩阵的「秩」为1。

我们通过矩阵 \[ 0 0 0 0 \] \\begin\{bmatrix\} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end\{bmatrix\} \[0000\]进行变换：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
因此，此矩阵的「秩」为0。

所以，「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221005/73a62743945f4e9d9055bb91cf473924.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221005/71f0d0d3ca184567b03700056aa2fece.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221005/576a999c70ff42ec80ca66970cd240b2.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20221005/9c09bfbfdc424b7fa211045a052910a7.png