一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用，透彻理解交叉熵背后的直觉

r囧r小猫 2022-10-12 12:57 140阅读 0赞

关于交叉熵在loss函数中使用的理解  
交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。以前做一些分类问题的时候，没有过多的注意，直接调用现成的库，用起来也比较方便。最近开始研究起对抗生成网络（GANs），用到了交叉熵，发现自己对交叉熵的理解有些模糊，不够深入。遂花了几天的时间从头梳理了一下相关知识点，才算透彻的理解了，特地记录下来，以便日后查阅。

信息论  
交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1 信息量  
首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：  
事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。  
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。  
仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设XX是一个离散型随机变量，其取值集合为χχ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0X=x0的信息量为：

I(x0)=−log(p(x0))  
I(x0)=−log(p(x0))

由于是概率所以 p(x0)p(x0)的取值范围是 \[0,1\]\[0,1\],绘制为图形如下：

可见该函数符合我们对信息量的直觉  
2 熵  
考虑另一个问题，对于某个事件，有nn种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi)p(xi)  
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号    事件    概率p    信息量I  
A    电脑正常开机    0.7    -log(p(A))=0.36  
B    电脑无法开机    0.2    -log(p(B))=1.61  
C    电脑爆炸了    0.1    -log(p(C))=2.30  
注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：  
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))  
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))  
其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是  
H(X)===−\[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))\]0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.300.804  
H(X)=−\[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))\]=0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30=0.804  
然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：  
H(X)==−∑i=1np(xi)log(p(xi))−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))  
H(X)=−∑i=1np(xi)log(p(xi))=−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x))  
3 相对熵（KL散度）  
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

即如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如\[1,0,0\]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如\[0.7,0.2,0.1\]  
直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：  
DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))(3.1)  
(3.1)DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi)q(xi))

n为事件的所有可能性。  
DKLDKL的值越小，表示q分布和p分布越接近  
4 交叉熵  
对式3.1变形可以得到：  
DKL(p||q)==∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))−H(p(x))+\[−∑i=1np(xi)log(q(xi))\]  
DKL(p||q)=∑i=1np(xi)log(p(xi))−∑i=1np(xi)log(q(xi))=−H(p(x))+\[−∑i=1np(xi)log(q(xi))\]  
等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：  
H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))  
H(p,q)=−∑i=1np(xi)log(q(xi))  
在机器学习中，我们需要评估label和predicts之间的差距，使用KL散度刚刚好，即DKL(y||y^)DKL(y||y^)，由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用  
1 为什么要用交叉熵做loss函数？  
在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：  
loss=12m∑i=1m(yi−yi^)2  
loss=12m∑i=1m(yi−yi^)2  
这里的m表示m个样本的，loss为m个样本的loss均值。  
MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

2 交叉熵在单分类问题中的使用  
这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。  
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法  
loss=−∑i=1nyilog(yi^)(2.1)  
(2.1)loss=−∑i=1nyilog(yi^)  
上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。  
举例说明,比如有如下样本

对应的标签和预测值

\*    猫    青蛙    老鼠  
Label    0    1    0  
Pred    0.3    0.6    0.1  
那么  
loss==−(0×log(0.3)+1×log(0.6)+0×log(0.1)−log(0.6)  
loss=−(0×log(0.3)+1×log(0.6)+0×log(0.1)=−log(0.6)  
对应一个batch的loss就是  
loss=−1m∑j=1m∑i=1nyjilog(yji^)  
loss=−1m∑j=1m∑i=1nyjilog(yji^)  
m为当前batch的样本数

3 交叉熵在多分类问题中的使用  
这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗  
和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。  
比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题

对应的标签和预测值

\*    猫    青蛙    老鼠  
Label    0    1    1  
Pred    0.1    0.7    0.8  
值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到\[0,1\]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即  
loss=−ylog(y^)−(1−y)log(1−y^)  
loss=−ylog(y^)−(1−y)log(1−y^)  
注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。  
例子中可以计算为：  
loss猫loss蛙loss鼠===−0×log(0.1)−(1−0)log(1−0.1)=−log(0.9)−1×log(0.7)−(1−1)log(1−0.7)=−log(0.7)−1×log(0.8)−(1−1)log(1−0.8)=−log(0.8)  
loss猫=−0×log(0.1)−(1−0)log(1−0.1)=−log(0.9)loss蛙=−1×log(0.7)−(1−1)log(1−0.7)=−log(0.7)loss鼠=−1×log(0.8)−(1−1)log(1−0.8)=−log(0.8)  
单张样本的loss即为loss=loss猫+loss蛙+loss鼠loss=loss猫+loss蛙+loss鼠  
每一个batch的loss就是：  
loss=∑j=1m∑i=1n−yjilog(yji^)−(1−yji)log(1−yji^)  
loss=∑j=1m∑i=1n−yjilog(yji^)−(1−yji)log(1−yji^)  
式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。

参考： [https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834][https_blog.csdn.net_tsyccnh_article_details_79163834]

https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337  
https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler\_divergence  
https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2013/11/05/why-you-should-use-cross-entropy-error-instead-of-classification-error-or-mean-squared-error-for-neural-network-classifier-training/

[https_blog.csdn.net_tsyccnh_article_details_79163834]: https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834