剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

缺乏、安全感 2022-10-07 15:50 142阅读 0赞

链接：[https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/][https_leetcode-cn.com_problems_qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof]

标签：递归、动态规划

> 题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

输入：n = 2
    输出：2
        
    输入：n = 7
    输出：21
        
    输入：n = 0
    输出：1

**提示：**

*  `0 <= n <= 100`

> 分析

这道本质上还是斐波那契数列，只是初始值不一样，斐波那契数列f(0) = 0, f(1) = 1，而这里f(0) = f(1) = 1。

定义dp\[i\]表示跳上一个i级台阶的跳法数，则dp\[0\] = dp\[1\] = 1，对于任意i（i >=2），跳上i级台阶可以通过跳1级或者跳2级到达，所以dp\[i\] = d\[i - 1\] + dp\[i - 2\]

对于本题，可以使用动态规划或者递归求解，使用递归需要保存计算过程中重复出现的项，减少运算时间。而使用动态规划，因为只和两个状态有关，所以空间复杂度可以由O(n)降为O(1)

> 编码

**递归版本**：

class Solution { 
        int[] cache = new int[101];
        public int numWays(int n) { 
            if (n == 0 || n == 1) { 
                return 1;
            }
    
            if (cache[n] != 0) { 
                return cache[n];
            }
    
            cache[n] = (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007;
            return cache[n];
        }
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FfaGVsbG93b3Jk_size_16_color_FFFFFF_t_70]

**动态规划，空间复杂度O(n)**:

class Solution { 
        public int numWays(int n) { 
            if (n == 0 || n == 1) { 
                return 1;
            }
    
            int[] dp = new int[n + 1];
            dp[0] = dp[1] = 1;
    
            for (int i = 2; i <= n; i++) { 
                dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) % 1000000007;
            }
    
            return dp[n];
        }
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FfaGVsbG93b3Jk_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

**动态规划，空间复杂度O(1)**:

class Solution { 
        public int numWays(int n) { 
            if (n == 0 || n == 1) { 
                return 1;
            }
    
            int res = 0, a1 = 1, a2 = 1;
    
            for (int i = 2; i <= n; i++) { 
                res = a1 + a2;
                if (res >= 1000000007) { 
                    res = res % 1000000007;
                }
                a1 = a2;
                a2 = res;
            }
    
            return res;
        }
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FfaGVsbG93b3Jk_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

[https_leetcode-cn.com_problems_qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof]: https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/
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