二分类问题的评分值与损失函数

梦里梦外; 2022-10-01 10:41 99阅读 0赞

二分类问题是监督学习中最基本的问题之一，本文旨在从评分值、损失函数的角度，对解决二分类问题的诸多机器学习算法做一个梳理。相关算法的详细介绍可以参考相关教材\[1\]\[2\]。

给定一个数据集![D=\{(\\mathbf x\_1, y\_1), (\\mathbf x\_2, y\_2), ..., (\\mathbf x\_m, y\_m)\}][D_mathbf x_1_ y_1_ _mathbf x_2_ y_2_ ..._ _mathbf x_m_ y_m] ，其中![y\_i\\in \\\{-1, 1\\\}][y_i_in _-1_ 1]，![\\mathbf x\_i=(x\_\{i1\}, x\_\{i2\}, ...x\_\{id\})][mathbf x_i_x_i1_ x_i2_ ...x_id]为d维向量 。注意有些资料中二分类比较喜欢用![\\\{0, 1\\\}][0_ 1]表示，使用什么数字表示二分类从原理上讲没有区别，但在数学表达上会有一些细微差异。

评分值不是一个机器学习算法中的一个正式名词，但是我们不妨建立这样一个认识角度。我们希望建立关于样本![\\mathbf x][mathbf x]的一个评分函数![s(\\mathbf x)][s_mathbf x]，它的基本性质很简单，就是要求和目标值![y][]同号，即正样本评分为正数，负样本评分为负数，这样最终的二分类函数为![sign(s(\\mathbf x))][sign_s_mathbf x]。

那么我们要如何建立评分函数呢？直观的想法是，对样本的![d][]个属性进行加权求和，这样能体现每个属性在评分中的重要性，如此建立的评分不一定在0值处有区分作用，因此再加上一个偏置项，所以评分函数为![s(\\mathbf x)=w^T\\mathbf x+b][s_mathbf x_w_T_mathbf x_b]，这个基本的评分函数可以衍生出很多算法。

评价二分类问题的基本标准是分类错误率，针对每一个样本，如果去计算它的损失函数，就是分类正确损失为0，分类错误损失为1，这种损失函数一般叫做0-1损失函数，可记为![l\_\{0-1\}=\\mathbb\{I\}\[sign(s(\\mathbf x))\\neq y\]][l_0-1_mathbb_I_sign_s_mathbf x_neq y]。

如果我们统一考虑正、负样本，令![z=s(\\mathbf x)\*y][z_s_mathbf x_y] ，那么分类正确时，![z][]必然始终为正值，不妨称其为绝对评分值,![z][]是对分类是否正确的一个度量。则![l\_\{0-1\}=\\mathbb\{I\}\[sign(z)= -1\]][l_0-1_mathbb_I_sign_z_ -1]，故![l\_\{0-1\}][l_0-1]是关于![z][]的分段函数。从最优化理论的角度来看，这个函数无法求梯度或[次梯度][Link 1]，因此需要找它的近似来优化。这个近似![\\widetilde l][widetilde l]的基本标准是：始终为非负值；当它很小时，![l\_\{0-1\}][l_0-1]很小。

评分值是属性![X][]的线性组合，从另一个角度看，评分值也是关于权值![w][]的线性组合。一般的，我们将![X][]变换到新的特征空间得到![\\phi (\\mathbf x)][phi _mathbf x]。则评分值为![z=(w^T\\mathbf \\phi (\\mathbf x)+b)y][z_w_T_mathbf _phi _mathbf x_b_y]。上述分析基本不变，只是模型的复杂度更高了。以下分析如无特别说明仍在原空间进行。

## 1 线性回归 ##

要求评分值与目标值同号，如果目标定得更加狭隘一些，可以令评分值直接为![\\\{-1, 1\\\}][-1_ 1],这是线性回归问题，损失函数使用误差平方（可以做直观的理解，也可以认为样本的误差符合正态分布，从极大似然的角度推导出，这不是本文的重点。）。注意到![l\_\{sqr\}=(s(\\mathbf x)-y)^2=(s(\\mathbf x) \* y-y^2)^2=(z-1)^2][l_sqr_s_mathbf x_-y_2_s_mathbf x_ _ y-y_2_2_z-1_2]，故误差函数是关于绝对评分值![z][]的二次函数。从图中可以看出![l\_\{sqr\}][l_sqr]是始终大于![l\_\{0-1\}][l_0-1]的，而且当![l\_\{sqr\}][l_sqr]比较小时，![l\_\{0-1\}][l_0-1]也比较小，所以可以作为![l\_\{0-1\}][l_0-1]的近似。

线性回归有封闭解![w=(X^TX)^\{-1\}X^Ty][w_X_TX_-1_X_Ty]，所以使用线性回归做二分类非常简单，但是效果一般不太好，为什么呢？从![l\_\{sqr\}][l_sqr]的曲线可以看出，当绝对评分值很大时，![l\_\{0-1\}][l_0-1]应该为0，直观来说，绝对评分值很大应该是区分度高的一件好事情，但是![l\_\{sqr\}][l_sqr]却给与了更高的惩罚，这是不合理的。线性回归可以给出一个还不错的![w][]值，可以用作其他算法的初始值。

## 2 感知机学习 ##

感知机学习可以用如下的直观想法来理解：针对绝对评分值，当它为正数时，分类正确，我们认为误差为0，当它为负数时，我们认为离0值越远，误差越大，即![l\_p=max(0, -z)][l_p_max_0_ -z]，从![l\_p][l_p]的曲线来看，也是![l\_\{0-1\}][l_0-1]的一个近似，虽然它也是一个分段函数，但是是可以求次梯度的,![z\\geqslant 0][z_geqslant 0]时，认为梯度为0，当![z<0][z_0]时，![\\frac\{dl\_p\}\{dw\}=\\frac \{dl\_p\}\{dz\}\\frac\{dz\}\{dw\}=-1\*y\\mathbf x=-y\\mathbf x][frac_dl_p_dw_frac _dl_p_dz_frac_dz_dw_-1_y_mathbf x_-y_mathbf x]，使用随机梯度下降法，![w\\leftarrow w+\\eta y\\mathbf x][w_leftarrow w_eta y_mathbf x]也就是说，只在出现评分错误时进行优化，这恰好就是感知机学习算法所做的工作。

## 3 支持向量机 ##

对感知机学习的误差函数，我们可以进一步优化，我们希望绝对评分值要充分大，这样认为样本是正样本我们才更加放心，考虑到![z][]是关于![w,b][w_b]可缩放的，不妨定义充分大为大于1。于是有![l\_\{hinge\}=max(0, 1-z)][l_hinge_max_0_ 1-z],这个损失函数被称为hinge损失函数。考虑结构风险，我们的优化目标为

![\\underset\{w,b\}\{min\}=\\frac\{1\}\{2\}\\left \\|w  \\right \\|^2+C\\sum\_\{i=1\}^\{m\}max(0, 1-z)][underset_w_b_min_frac_1_2_left _w _right _2_C_sum_i_1_m_max_0_ 1-z]

通过松弛变量法，就可以变为软间隔支持向量机，通过二次规划来求出模型。

从评分值的角度来理解，评分值充分大使得模型针对新的样本有较好的鲁棒性，这正是支持向量机比较优秀的地方。如果引入特征空间，则在支持向量机的求解过程中要大量计算内积，将特征空间的内积简化为原空间的核函数可以引入核方法。

## 4 Logistic回归 ##

在![z][]值的基础上，我们希望它能算出一个概率，衡量分类正确的概率或者说程度。即将![z][]的值域从![(-\\infty , +\\infty )][-_infty _ _infty]映射到![(0,1)][0_1] ,那么sigmoid函数是个好的选择，它可求梯度而且在0处概率恰好为0.5。即

![sigmoid(z)=\\frac \{1\}\{1+exp(-z)\}][sigmoid_z_frac _1_1_exp_-z]

然后，我们再根据这个sigmoid函数，再来模拟损失函数![l\_\{0-1\}(z)][l_0-1_z]，我们要求损失函数关于![z][]递减，而且始终为正数，考虑概率求对数后再取负号，故

![l\_\{log\}(z)=-log(sigmoid(z))=log(1+exp(-z))][l_log_z_-log_sigmoid_z_log_1_exp_-z]

由图可以看出，它也是![l\_\{0-1\}(z)][l_0-1_z]的一种近似。以对数损失函数为优化目标。

![\\underset\{w,b\}\{min\}=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}log(1+exp(-z))+ \\lambda\\left \\|w  \\right \\|^2][underset_w_b_min_sum_i_1_m_log_1_exp_-z_ _lambda_left _w _right _2]

这是带正则化的Logistic回归，由于![l\_\{log\}(z)][l_log_z]处处可微，因此可以使用梯度下降法等最优化方法求解。

## 5 AdaBoost ##

指数函数同样可以满足近似![l\_\{0-1\}][l_0-1]的基本条件，即损失函数定义为![l\_\{exp\}(z)=exp(-z)][l_exp_z_exp_-z]。

指数损失函数结合加性模型，可以推导出AdaBoost算法。

所谓加性模型，可以这样来理解：假设我们得到的特征空间中的d维向量![\\phi(\\mathbf x)][phi_mathbf x]对应的就是d个弱分类器，就是说比随机猜测50%的正确率高一点的分类器。所谓的Boost方法就是有效的组合这些弱分类器来构建强分类器。加性模型本质上依然是一个线性模型。依然有评分函数为![s(\\mathbf x)=w^T\\mathbf \\phi (\\mathbf x)][s_mathbf x_w_T_mathbf _phi _mathbf x]。（考虑到弱分类器本身可以有偏置，因此取![b=0][b_0]。）只不过这里的![\\phi(\\mathbf x)][phi_mathbf x]代表一个弱分类器，而不是一个简单的属性变换（本质上看，也是一种属性变换）。

AdaBoost是一个逐步迭代的过程，假设经过![m-1][]轮迭代已经得到评分函数![s\_\{m-1\}(\\mathbf x)=\\sum\_\{i=1\}^\{m-1\}w\_i\\phi\_i(\\mathbf x)][s_m-1_mathbf x_sum_i_1_m-1_w_i_phi_i_mathbf x],在第![m][]轮迭代后得到![w\_m, \\phi\_m(\\mathbf x), s\_m(\\mathbf X)][w_m_ _phi_m_mathbf x_ s_m_mathbf X],则![s\_m(\\mathbf X)=s\_\{m-1\}(\\mathbf X)+w\_m\\phi\_m(\\mathbf x)][s_m_mathbf X_s_m-1_mathbf X_w_m_phi_m_mathbf x]，AdaBoost的优化目标是使得每一步得到的评分函数关于指数损失函数最小，即

![w\_m, \\phi\_m = arg\\underset\{w,\\phi\}\{min\}\\sum\_\{i=1\}^Nexp(-z\_\{mi\})  \\quad z\_\{mi\}=y\_is\_m(\\mathbf X\_i)][w_m_ _phi_m _ arg_underset_w_phi_min_sum_i_1_Nexp_-z_mi_ _quad z_mi_y_is_m_mathbf X_i]

该式的进一步推导此处不再详述。

## 小结 ##

以上介绍了6种损失函数，他们都是关于评分值的单调非增函数，其中后面5种是关于0-1损失函数的近似替代，通过求解替代函数能否得到原问题的解，有深入的研究，称为替代损失的“一致性”问题\[3\]。

此外，如果我们要找出所有样本种的正例并排序，那么评分值应该在参与优化的时候就具备排序的特性，对数损失和指数损失是单调递减的，以它们为优化目标的模型计算出的评分值可以参与排序，其他几种损失函数不是单调递减的，因此相应的评分值不适合排序。

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1.  统计学习方法 李航 ↩︎
2.  机器学习 周志华 ↩︎
3.  [projecteuclid.org/download/pd…][projecteuclid.org_download_pd] ↩︎

转载于:https://juejin.im/post/5ca0928851882567db2a2da9

[D_mathbf x_1_ y_1_ _mathbf x_2_ y_2_ ..._ _mathbf x_m_ y_m]: https://juejin.im/equation?tex=D%3D%7B%28%5Cmathbf%20x_1%2C%20y_1%29%2C%20%28%5Cmathbf%20x_2%2C%20y_2%29%2C%20...%2C%20%28%5Cmathbf%20x_m%2C%20y_m%29%7D
[y_i_in _-1_ 1]: https://juejin.im/equation?tex=y_i%5Cin%20%5C%7B-1%2C%201%5C%7D
[mathbf x_i_x_i1_ x_i2_ ...x_id]: https://juejin.im/equation?tex=%5Cmathbf%20x_i%3D%28x_%7Bi1%7D%2C%20x_%7Bi2%7D%2C%20...x_%7Bid%7D%29
[0_ 1]: /images/20220118/cc0f61306f9e4e30909213d024d5e6c6.png
[mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=%5Cmathbf%20x
[s_mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=s%28%5Cmathbf%20x%29
[y]: https://juejin.im/equation?tex=y
[sign_s_mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=sign%28s%28%5Cmathbf%20x%29%29
[d]: https://juejin.im/equation?tex=d
[s_mathbf x_w_T_mathbf x_b]: https://juejin.im/equation?tex=s%28%5Cmathbf%20x%29%3Dw%5ET%5Cmathbf%20x%2Bb
[l_0-1_mathbb_I_sign_s_mathbf x_neq y]: /images/20220118/01884e66b01e460390a503d2ca91b284.png
[z_s_mathbf x_y]: /images/20220118/374b9392fde34d0499d4f4490ca1413d.png%3Ds%28%5Cmathbf%20x%29*y
[z]: /images/20220118/374b9392fde34d0499d4f4490ca1413d.png
[l_0-1_mathbb_I_sign_z_ -1]: https://juejin.im/equation?tex=l_%7B0-1%7D%3D%5Cmathbb%7BI%7D%5Bsign%28z%29%3D%20-1%5D
[l_0-1]: https://juejin.im/equation?tex=l_%7B0-1%7D
[Link 1]: https://link.juejin.im?target=https%3A%2F%2Fzh.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E6%25AC%25A1%25E5%25AF%25BC%25E6%2595%25B0
[widetilde l]: https://juejin.im/equation?tex=%5Cwidetilde%20l
[X]: https://juejin.im/equation?tex=X
[w]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png
[phi _mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=%5Cphi%20%28%5Cmathbf%20x%29
[z_w_T_mathbf _phi _mathbf x_b_y]: /images/20220118/374b9392fde34d0499d4f4490ca1413d.png%3D%28w%5ET%5Cmathbf%20%5Cphi%20%28%5Cmathbf%20x%29%2Bb%29y
[-1_ 1]: https://juejin.im/equation?tex=%5C%7B-1%2C%201%5C%7D
[l_sqr_s_mathbf x_-y_2_s_mathbf x_ _ y-y_2_2_z-1_2]: https://juejin.im/equation?tex=l_%7Bsqr%7D%3D%28s%28%5Cmathbf%20x%29-y%29%5E2%3D%28s%28%5Cmathbf%20x%29%20*%20y-y%5E2%29%5E2%3D%28z-1%29%5E2
[l_sqr]: https://juejin.im/equation?tex=l_%7Bsqr%7D
[w_X_TX_-1_X_Ty]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png%3D%28X%5ETX%29%5E%7B-1%7DX%5ETy
[l_p_max_0_ -z]: https://juejin.im/equation?tex=l_p%3Dmax%280%2C%20-z%29
[l_p]: https://juejin.im/equation?tex=l_p
[z_geqslant 0]: /images/20220118/374b9392fde34d0499d4f4490ca1413d.png%5Cgeqslant%200
[z_0]: /images/20220118/374b9392fde34d0499d4f4490ca1413d.png%3C0
[frac_dl_p_dw_frac _dl_p_dz_frac_dz_dw_-1_y_mathbf x_-y_mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=%5Cfrac%7Bdl_p%7D%7Bdw%7D%3D%5Cfrac%20%7Bdl_p%7D%7Bdz%7D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdw%7D%3D-1*y%5Cmathbf%20x%3D-y%5Cmathbf%20x
[w_leftarrow w_eta y_mathbf x]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png%5Cleftarrow%20w%2B%5Ceta%20y%5Cmathbf%20x
[w_b]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png%2Cb
[l_hinge_max_0_ 1-z]: https://juejin.im/equation?tex=l_%7Bhinge%7D%3Dmax%280%2C%201-z%29
[underset_w_b_min_frac_1_2_left _w _right _2_C_sum_i_1_m_max_0_ 1-z]: /images/20220118/bc10f297a904472b8286569120ac8a3b.png
[-_infty _ _infty]: https://juejin.im/equation?tex=%28-%5Cinfty%20%2C%20%2B%5Cinfty%20%29
[0_1]: https://juejin.im/equation?tex=%280%2C1%29
[sigmoid_z_frac _1_1_exp_-z]: /images/20220118/9ad4da65d3a74b248a0a14ee57f74083.png
[l_0-1_z]: /images/20220118/e669a13c442646ad9ca93128fa35b0d0.png
[l_log_z_-log_sigmoid_z_log_1_exp_-z]: /images/20220118/6d029b838d14479a9a6cb6d492cde3b9.png
[underset_w_b_min_sum_i_1_m_log_1_exp_-z_ _lambda_left _w _right _2]: /images/20220118/2b734ee210f24a2887ae7fcf756f7ee9.png
[l_log_z]: /images/20220118/ca892c5d81964e209576a0d53fc65398.png
[l_exp_z_exp_-z]: /images/20220118/bda383262b3c457e9a40b5e6850b633e.png
[phi_mathbf x]: /images/20220118/26ba27e1d317447f837cb4f647560885.png
[s_mathbf x_w_T_mathbf _phi _mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=s%28%5Cmathbf%20x%29%3Dw%5ET%5Cmathbf%20%5Cphi%20%28%5Cmathbf%20x%29
[b_0]: https://juejin.im/equation?tex=b%3D0
[m-1]: https://juejin.im/equation?tex=m-1
[s_m-1_mathbf x_sum_i_1_m-1_w_i_phi_i_mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=s_%7Bm-1%7D%28%5Cmathbf%20x%29%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm-1%7Dw_i%5Cphi_i%28%5Cmathbf%20x%29
[m]: https://juejin.im/equation?tex=m
[w_m_ _phi_m_mathbf x_ s_m_mathbf X]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png_m%2C%20%5Cphi_m%28%5Cmathbf%20x%29%2C%20s_m%28%5Cmathbf%20X%29
[s_m_mathbf X_s_m-1_mathbf X_w_m_phi_m_mathbf x]: https://juejin.im/equation?tex=s_m%28%5Cmathbf%20X%29%3Ds_%7Bm-1%7D%28%5Cmathbf%20X%29%2Bw_m%5Cphi_m%28%5Cmathbf%20x%29
[w_m_ _phi_m _ arg_underset_w_phi_min_sum_i_1_Nexp_-z_mi_ _quad z_mi_y_is_m_mathbf X_i]: /images/20220118/222387efbf1646b7b9eb20dda0fc4439.png_m%2C%20%5Cphi_m%20%3D%20arg%5Cunderset%7Bw%2C%5Cphi%7D%7Bmin%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5ENexp%28-z_%7Bmi%7D%29%20%20%5Cquad%20z_%7Bmi%7D%3Dy_is_m%28%5Cmathbf%20X_i%29
[projecteuclid.org_download_pd]: https://link.juejin.im?target=https%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2Fdownload%2Fpdf_1%2Feuclid.aos%2F1079120130