算法训练结点选择（树形dp）（点权）

ゝ一纸荒年。 2022-09-27 06:52 173阅读 0赞

问题描述

有一棵 n 个节点的树，树上每个节点都有一个正整数权值。如果一个点被选择了，那么在树上和它相邻的点都不能被选择。求选出的点的权值和最大是多少？

输入格式

第一行包含一个整数 n 。

接下来的一行包含 n 个正整数，第 i 个正整数代表点 i 的权值。

接下来一共 n-1 行，每行描述树上的一条边。

输出格式

输出一个整数，代表选出的点的权值和的最大值。

样例输入

5  
1 2 3 4 5  
1 2  
1 3  
2 4  
2 5

样例输出

样例说明

选择3、4、5号点，权值和为 3+4+5 = 12 。

数据规模与约定

对于20%的数据， n <= 20。

对于50%的数据， n <= 1000。

对于100%的数据， n <= 100000。

权值均为不超过1000的正整数。

题解：树形dp。（点权）

设dp\[i\]\[0\]表示不选择i点时，i点及其子树能选出的最大权值。

dp\[ i \]\[1\]表示选择i点时，i点及其子树的最大权值。

所以，状态转移方程为：

对于叶子节点 i ：

dp\[ i \]\[0\] = 0, dp\[ i \]\[1\] = K.(点权)

对于非叶子节点 i ：

dp\[ i \]\[1\] = i点权值 + ∑dp\[ j \]\[ 0 \] (j是i的儿子)

dp\[ i \]\[0\] = ∑max(dp\[ j \]\[ 0 \], dp\[ j \]\[1\]) (j是i的儿子)  
最后答案的最大权值即为max(dp\[1\]\[0\], dp\[1\]\[1\])。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    vector<int>G[100010];
    int dp[100010][2];
    void dfs(int cur,int fa)
    {
    	for(int i=0;i < G[cur].size();i++){
    		int v = G[cur][i];
    		if(v == fa)continue;
    		dfs(v,cur);
    		dp[cur][1] += dp[v][0];
    		dp[cur][0] += max(dp[v][0],dp[v][1]);
    	}
    }
    int main()
    {
    	//freopen("in.txt","r",stdin);
    	int n;
    	int u,v;
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		cin>>dp[i][1];
    	}
    	for(int i=1;i<n;i++){
    		cin>>u>>v;
    		G[u].push_back(v);
    		G[v].push_back(u);
    	}
    	dfs(1,0);
    	cout<<max(dp[1][0],dp[1][1])<<endl;
    	return 0;
    }