【经典算法】:图中的最小生成树算法之Prim算法和Kruskal算法

Love The Way You Lie 2022-09-26 02:58 177阅读 0赞

**Prim算法**

**1.概览**

**普里姆算法**（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

**2.算法简单描述**

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：Vnew = \{x\}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = \{\},为空；

3).重复下列操作，直到Vnew = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；

4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <th>图例</th> 
 <th>说明</th> 
 <th>不可选</th> 
 <th>可选</th> 
 <th>已选（Vnew）</th> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp; <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015154494.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。</td> 
 <td>-</td> 
 <td>-</td> 
 <td>-</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073015175038.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。</td> 
 <td>C, G</td> 
 <td>A, B, E, F</td> 
 <td>D</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp; <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016090032.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。</td> 
 <td>C, G</td> 
 <td>B, E, F</td> 
 <td>A, D</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td><img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016130394.png" alt="" height="168" width="200"></td> 
 <td>算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。</td> 
 <td>C</td> 
 <td>B, E, G</td> 
 <td>A, D, F</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp; <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016143177.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。</td> 
 <td>无</td> 
 <td>C, E, G</td> 
 <td>A, D, F, B</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp; <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016154616.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。</td> 
 <td>无</td> 
 <td>C, G</td> 
 <td>A, D, F, B, E</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016114494.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。</td> 
 <td>无</td> 
 <td>G</td> 
 <td>A, D, F, B, E, C</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> <img src="http://pic002.cnblogs.com/images/2012/426620/2012073016100874.png" alt="" height="168" width="200"> </td> 
 <td>现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。</td> 
 <td>无</td> 
 <td>无</td> 
 <td>A, D, F, B, E, C, G</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

**3.简单证明prim算法**

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

** 4.算法代码实现(未检验)**

![复制代码][copycode.gif]

#define MAX 100000
 #define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
 
 int edge[VNUM][VNUM]={
 /*输入的邻接矩阵*/};
 int lowcost[VNUM]={
 0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
 int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
 int adjecent[VNUM]={
 0}; //记录V中与Vnew最邻近的点
 
 
 void prim(int start)
 {
 int sumweight=0;
 int i,j,k=0;
 
 for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
 {
 lowcost[i]=edge[start][i];
 addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
 }
 
 addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew
 adjecent[start]=start;
 
 for(i=1;i<VNUM-1;i++) 
 {
 int min=MAX;
 int v=-1;
 for(j=1;j<VNUM;j++) 
 {
 if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
 {
 min=lowcost[j];
 v=j;
 }
 }
 if(v!=-1)
 {
 printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
 addvnew[v]=0; //将v加Vnew中
 
 sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
 for(j=1;j<VNUM;j++)
 {
 if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j]) 
 {
 lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
 adjecent[j]=v; 
 }
 }
 }
 }
 printf("the minmum weight is %d",sumweight);
 }

![复制代码][copycode.gif]

**5.时间复杂度**

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v2)                 邻接表:O(elog2v)

**Kruskal算法**

**1.概览**

**Kruskal算法**是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

**2.算法简单描述**

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

添加这条边到图Graphnew中

图例描述：

![2012073015215729.jpg][]首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边

![2012073015234045.jpg][]

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

![2012073015313195.jpg][]在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

![2012073015332154.jpg][]依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

![2012073015361536.jpg][]

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

**3.简单证明Kruskal算法**

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

**归纳基础：**

n=1，显然能够找到最小生成树。

**归纳过程：**

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+\{<u,v>\}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+\{<u,v>\}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+\{<u,v>\})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-\{<u,v>\}，是G'的生成树。所以W(T-\{<u,v>\})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+\{<u,v>\})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+\{<u,v>\}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

**4.代码算法实现**

![复制代码][copycode.gif]

typedef struct 
 { 
 char vertex[VertexNum]; //顶点表 
 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 
 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 
 }MGraph; 
 
 typedef struct node 
 { 
 int u; //边的起始顶点 
 int v; //边的终止顶点 
 int w; //边的权值 
 }Edge; 
 
 void kruskal(MGraph G) 
 { 
 int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; 
 int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通 
 int E[EdgeNum]; //存放所有的边 
 k=0; //E数组的下标从0开始 
 for (i=0;i<G.n;i++) 
 { 
 for (j=0;j<G.n;j++) 
 { 
 if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) 
 { 
 E[k].u=i; 
 E[k].v=j; 
 E[k].w=G.edges[i][j]; 
 k++; 
 } 
 } 
 } 
 heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列 
 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组 
 { 
 vset[i]=i; 
 } 
 k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数 
 j=0; //E中的下标 
 while (k<G.n) 
 { 
 sn1=vset[E[j].u]; 
 sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 
 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树 
 {
 printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); 
 k++; 
 for (i=0;i<G.n;i++) 
 { 
 if (vset[i]==sn2) 
 { 
 vset[i]=sn1; 
 } 
 } 
 } 
 j++; 
 } 
 }

![复制代码][copycode.gif]

时间复杂度：elog2e  e为图中的边数

[copycode.gif]: /images/20220717/5f8a332efa22438baca9028cfc76b638.png
[2012073015215729.jpg]: /images/20220717/d12171c1934f4eaeb76bbf4d8db0ed07.png
[2012073015234045.jpg]: /images/20220717/7c6e717f88554d57b1850d3b302c5a2b.png
[2012073015313195.jpg]: /images/20220717/bdae543b25344c4bbdc42292ab6f401d.png
[2012073015332154.jpg]: /images/20220717/c0ff71059cdc4915b43fd9ec83f31b41.png
[2012073015361536.jpg]: /images/20220717/cff14f4c67404b708d9fd06de34038ec.png