对于"矩阵连乘问题"的一点想法

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-09-21 14:23 172阅读 0赞

对于"**矩阵连乘问题**"的一点想法

在算法设计的学习中，每到“[动态规划][Link 1]”一节，一般都会涉及到**“矩阵连乘”**问题（例如[《Algorithms》][Algorithms]，中文译名《算法概论》），可想而知该题的经典程度 ：）

前些天复习动态规划的时候，瞅着这个问题突然有了一点有趣的想法：难道该题只能以动态规划求解吗？能不能用……（暂且卖个关子 ：））？遂而有了以下的一些思考。

首先，让我不厌其烦的再次回味一遍**“矩阵连乘”**,算法大牛们可以直接无视：

<table style="width: 651px; height: 36px; text-align: center;"> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td> <p style="margin-top: 5pt; layout-grid-mode: char; text-align: justify;"><span style="font-weight: bold; font-size: 10.5pt; font-family: 'Times New Roman'; mso-spacerun: 'yes';"><span style="font-family: 宋体;">问题描述：</span></span></p> <p style="margin-top: 5pt; layout-grid-mode: char; text-align: justify;"><strong><span style="font-size: 10.5pt; font-family: 'Times New Roman'; mso-spacerun: 'yes';"><span style="font-family: 宋体;">给定n个矩阵｛A1,A2,...,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。</span></span></strong></p> </td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

显而易见，在矩阵个数为1个或者2个时，该问题易解，在此考虑一种3个矩阵的情况：

A1：10×100，A2：100×5，A3：5×50；并且我们简记两个矩阵相乘为：矩阵1矩阵2，

例如A1乘以A2记为：A1A2，并用 () 表示矩阵之间的相乘顺序，例如A1乘以A2再乘以

A3，我们便记作：((A1A2)A3)，另外，就一个a行b列的矩阵与一个b行c列的矩阵相乘而言（注意，必须满足矩阵可乘条件），其需要的乘法次数为：aXbXc（不相信的朋友可以自己演算：）），对于上面提到的这种情况，如果采用 ((A1A2)A3) 的连乘顺序，那么总的乘法次数为：10X100X5 + 10X5X50 = 7500；而采用 (A1(A2A3))的连乘顺序，那么总的连乘次数为：100X5X50 + 10X100X50 = 75000 ！两种连乘顺序的乘法次数竟然相差十倍之巨！可想而知一个好的矩阵连乘顺序选择是多么重要。

至于如何解决这个“**矩阵连乘**”问题，一般都采用动态规划方法，具体思路如下：

对于一连串的矩阵相乘，我们定义问题 **P(i,j) ( j >= i ) **：原矩阵链中矩阵Ai至Aj之间的矩阵

连乘最小次数，显而易见，原问题是该问题的一个子问题，P(1,n)即代表原问题的解，并且

**P(i,j)( 1>= j - i >=0 )** 的解都是易解的，或者说平凡的，那么，对于这个自定义的问题，我们很自然的可以总结出以下的递推公式：

0 ( i = j )

P(i,j) (j>=i) =      axbxc ( i = j+1 )

Min( P(i,k)+p(k+1,j)+axmxc ( k>=i 且 k <=j )) (其他情况)

（ 设Ai为 axb 矩阵，Aj为 bxc 矩阵，Ak为 nxm 矩阵 ）

显而易见，这是一个天生的动态规划问题（良好的递归问题定义，以及诸多重复的子

问题计算），那么接下来，就让我们继续深入细节，编码来实现这个算法，由于递归公式已

经给出，实际编码其实并无多大问题，需要注意的可能就是子问题的求解顺序了：

/\* Name: matrixs\_chain\_mutiply\_dp.cpp Copyright: No Copyright Author: Hugo Yu Date: 09-01-10 21:47 Description: A Simple Implementation Of matrix chain-multiplication ( Dynamic Programming ) \*/ \#include <iostream> using std::endl; using std::cout; using std::cin; using std::istream; \#include <cstddef> using std::size\_t; struct SimpleMatrix \{ //friend istream& operator >> ( istream& input, SimpleMatrix& sm ); size\_t rows; size\_t cols; \}; //the max matrixs count ( just for simple :) ) const size\_t MAX\_MATRIXS\_COUNT = 512; //matrix array SimpleMatrix g\_sm\_array\[MAX\_MATRIXS\_COUNT\]; //buffer size\_t g\_buffer\[MAX\_MATRIXS\_COUNT\]\[MAX\_MATRIXS\_COUNT\]; //max size\_t const size\_t MAX\_SIZE\_T = size\_t(-1); istream& operator >> ( istream& input, SimpleMatrix& sm ) \{ input >> sm.rows >> sm.cols; return input; \} size\_t Calculate( size\_t matrix\_count )//just use g\_sm\_array \{ //initiate the g\_buffer for( int i = 0; i < matrix\_count; ++i ) \{ g\_buffer\[i\]\[i\] = 0; \} for( int i = 0; i < matrix\_count - 1; ++i ) \{ g\_buffer\[i\]\[i+1\] = g\_sm\_array\[i\].rows \* g\_sm\_array\[i\].cols \* g\_sm\_array\[i+1\].cols; \} //do the calculate for( int k = 2; k < matrix\_count; ++k ) \{ for( int i = 0; i <= matrix\_count - k; ++i ) \{ size\_t min\_count = MAX\_SIZE\_T;//just for simple for( int j = i; j < i + k; ++j ) \{ size\_t result = g\_buffer\[i\]\[j\] + g\_buffer\[j+1\]\[i+k\] + g\_sm\_array\[i\].rows \* g\_sm\_array\[j\].cols \* g\_sm\_array\[i+k\].cols; if( result < min\_count ) min\_count = result; \} g\_buffer\[i\]\[i+k\] = min\_count; \} \} return g\_buffer\[0\]\[matrix\_count-1\]; \} int main() \{ size\_t matrix\_count = 0; cout << "Please Input The Matrixs Count : " << endl; cin >> matrix\_count; cout << "Please Input The Matrixs : " << endl; //SimpleMatrix \*sm\_array = new SimpleMatrix\[matrix\_count\];//should be more safe here :) for( int i = 0; i < matrix\_count; ++i ) \{ cin >> g\_sm\_array\[i\]; \} cout << "The Result Is : "<< Calculate( matrix\_count )<<endl; //delete\[\] sm\_array;//should be more safe here :) system( "pause" ); return 0; \}

好了，至此经典的算法已经讲述完毕，接下来该轮到我自个儿瞎扯几句了 ：）

还拿上面的那个例子来讲：A1：10×100，A2：100×5，A3：5×50，我首先注意到

其中100这个数字，毫无疑问，它是所有矩阵行列数中最大的，并且如果我们采用这种矩阵连乘顺序：(A1(A2A3)) ，那么，100首先作为A2矩阵的行数参加了一次乘法运算(即100×5×50)，然后再次作为A2矩阵的行数(或者说A1矩阵的列数)参加了一次乘法运算(即10×100×50)，也就是说，100作为各矩阵行列数中最大的一个数，在上述的这种矩阵连乘顺序中，总共参加了两次乘法运算，即产生了两次作用！毫无疑问这定会带来很大的乘法次数，那么我的想法是，能不能首先将这个100消除，以使其产生的效果最小，答案很简单：首先计算 A1A2，而这种乘法方案恰恰就是该矩阵情况下矩阵连乘的最优顺序方案！那么很自然的，我便有了以下一个“贪心”的算法：

1.首先按照各矩阵的共有行列数排序（所谓共有行列数，举例来说，对于axb矩阵A1及bXc矩阵A2的共有行列数即为共有的b，暂且不知道更为准确的叫法，就容我先这么叫吧 ：））

2.然后按照排序顺序（从大到小）进行矩阵乘法。

好了，算法就是这么简单，并且显而易见，该算法属于贪心法的范畴，而往往贪心法总是过程简单，证明复杂，我也不出意外的卡在了证明准确性的关卡上，思考了一些方法但感觉仍然不得要领，所以我为此还特意去请教了一下我们学院的陈院长（算法大牛），牛人就是牛人，我刚刚提了“贪心”及“矩阵连乘”这两个关键字，还没有透露任何细节，我们的陈院长便将该算法八九不离十的自己推测出来了，并且还给出了一个解释（类似于之前我的思考），但我认为这般论据仍然不够充分，而陈院长则认为这个算法可能是正确的，所以目前对于更深层的原因，我仍然不得而知，**期望某位算法牛人可以不吝赐教**，小弟在此先拜谢了：）但不能深层理解并不代表不能加以实现，所以在此我也编写了一段简单的代码（虽说简单，但仍然觉得作为示例还是复杂了些）：

/\* Name: matrixs\_chain\_mutiply\_gd.cpp Copyright: No Copyright Author: Hugo Yu Date: 10-01-10 19:57 Description: A Simple Implementation Of matrix chain-multiplication ( Greed algorithm ) \*/ \#include <iostream> using std::endl; using std::cout; using std::cin; using std::istream; \#include <cstddef> using std::size\_t; \#include <algorithm> using std::sort; struct SimpleMatrix \{ //friend istream& operator >> ( istream& input, SimpleMatrix& sm ); size\_t rows; size\_t cols; \}; istream& operator >> ( istream& input, SimpleMatrix& sm ) \{ input >> sm.rows >> sm.cols; return input; \} struct Pair \{ bool operator < ( const Pair& pair ) const \{ return this->element < pair.element; \} size\_t element; size\_t index; \}; //the max matrixs count ( just for simple :) ) const size\_t MAX\_MATRIXS\_COUNT = 512; //matrix array SimpleMatrix g\_sm\_array\[MAX\_MATRIXS\_COUNT\]; //buffer Pair g\_buffer\[MAX\_MATRIXS\_COUNT\]; //max size\_t const size\_t MAX\_SIZE\_T = size\_t(-1); size\_t Calculate( size\_t matrix\_count ) \{ //initiate the g\_buffer for( int i = 0; i < matrix\_count - 1; ++i ) \{ g\_buffer\[i\].element = g\_sm\_array\[i\].cols; g\_buffer\[i\].index = i; \} sort( g\_buffer, g\_buffer + matrix\_count - 1 ); size\_t result = 0; for( int i = matrix\_count - 2; i >= 0; --i ) \{ size\_t index = g\_buffer\[i\].index; //calculate result result += ( g\_sm\_array\[index\].rows \* g\_sm\_array\[index\].cols \* g\_sm\_array\[index+1\].cols ); //update matrixs array for( int j = index + 2; j < matrix\_count - 1; ++j ) \{ if( ( g\_sm\_array\[index+1\].rows != g\_sm\_array\[j\].rows ) || ( g\_sm\_array\[index+1\].cols != g\_sm\_array\[j\].cols ) ) break; g\_sm\_array\[j\].rows = g\_sm\_array\[index\].rows; \} g\_sm\_array\[index+1\].rows = g\_sm\_array\[index\].rows; for( int j = index - 1; j >= 0; --j ) \{ if( ( g\_sm\_array\[index\].rows != g\_sm\_array\[j\].rows ) || ( g\_sm\_array\[index\].cols != g\_sm\_array\[j\].cols ) ) break; g\_sm\_array\[j\].cols = g\_sm\_array\[index+1\].cols; \} g\_sm\_array\[index\].cols = g\_sm\_array\[index+1\].cols; \} return result; \} int main() \{ size\_t matrix\_count = 0; cout << "Please Input The Matrixs Count : " << endl; cin >> matrix\_count; cout << "Please Input The Matrixs : " << endl; //SimpleMatrix \*sm\_array = new SimpleMatrix\[matrix\_count\];//should be more safe here :) for( int i = 0; i < matrix\_count; ++i ) \{ cin >> g\_sm\_array\[i\]; \} cout << "The Result Is : "<< Calculate( matrix\_count )<<endl; //delete\[\] sm\_array;//should be more safe here :) system( "pause" ); return 0; \}

最后我将该程序产生结果与上面程序（动态规划）产生结果加以比较，所使用数据则是由一个简单的随机函数产生：

//max matrix rows or cols const size\_t MAX\_ROW\_COL = 100; void RandomMatrixs( size\_t matrix\_count ) \{ g\_sm\_array\[0\].rows = rand() % ( MAX\_ROW\_COL - 1 ) + 1;//avoid get 0 g\_sm\_array\[matrix\_count-1\].cols = rand() % ( MAX\_ROW\_COL - 1 ) + 1; for( int i = 0; i < matrix\_count - 1; ++i ) \{ g\_sm\_array\[i\].cols = g\_sm\_array\[i+1\].rows = rand() % ( MAX\_ROW\_COL - 1 ) + 1; \} \}

很快便得到了一组结果不一致的数据：A1 42X98， A2 98X68，A3 68X63，A4 63X83，A5 83X54。

使用动态规划的正规方法，所得结果为：867678（ （（（（A1A2）A3）A4）A5） ），而贪心算法的结果却为：885066（ （（（A1A2）A3）（A4A5）） ），**显然，矩阵连乘问题使用贪心法是错误的 ：（ **。

现在的理解是，贪心的局部最优，在“**矩阵连乘**”问题中并不会导致全局最优，也就是说我对于本题的看法还是落入了“短视”的窠臼，不过明晰的数学分析抑或缜密的证明推断，现在的我还是无能为力（囧...），**再次渴望一下大牛们的谆谆教诲 ：）**，不过最为“**矩阵连乘**”问题的[近似算法][Link 2]，我想也许这个贪心思路能够带来一点启示 ：）

好了，思考暂时便是这么多了，我想也是时候休息一下了（譬如玩玩《KOF》或者《SF4》） **：）**

[Link 1]: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92
[Algorithms]: http://www.douban.com/subject/1996256/
[Link 2]: http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E8%BF%91%E4%BC%BC%E7%AE%97%E6%B3%95