稀疏表达：向量、矩阵与张量

迈不过友情╰ 2022-09-17 13:17 155阅读 0赞

转载于：[http://www.cvchina.info/2010/06/01/sparse-representation-vector-matrix-tensor-1/][http_www.cvchina.info_2010_06_01_sparse-representation-vector-matrix-tensor-1]

稀疏表达是近年来SP, ML, PR, CV领域中的一大热点，文章可谓是普天盖地，令人目不暇给。老板某门课程的课程需要大纲，我顺道给扩展了下，就有了这个上中下三篇介绍性质的东西。遗憾的是，我在绝大多数情况下实在不算是一个勤快的人，这玩意可能充满bug，更新也可能断断续续，尽请诸位看官见谅了。顺道一提，ICCV09有一个相关的[ tutorial ][tutorial]。

据传博文里公式数量和其人气是成反比例关系的，一个公式可以驱散50%的读者，我写完这个（上）之后点了点公式数量，觉得大约是要无人问津了。所以，在介绍稀疏表达之前，让我们先来展示下其在computer vision中的应用，吸引下眼球。

首先是图像恢复（以前有人贴过Obama还记得不），由左侧图像恢复出右侧结果

[![1-e1275370522475.png][]][1-e1275370522475.png 1]

然后是类似的图像inpainting

[![E5_9B_BE_E7_89_872.png][]][E5_9B_BE_E7_89_872.png]

然后是图像去模糊，左上为输入模糊图像，右下为输出清晰图像及估计的相机运动（其实是PSF），中间均为迭代过程:

[![E5_9B_BE_E7_89_873.png][]][E5_9B_BE_E7_89_873.png]

[![4-e1275369409484.png][]][4-e1275369409484.png]

再然后是物体检测（自行车），左侧输入图像，中间为位置概率图，右侧为检测结果

[![7-e1275369552926.png][]][7-e1275369552926.png 1]

当然我个人还推荐Yi Ma的[sparse face][]，这个在对抗噪声的效果上很棒，比如下图中左侧的那张噪声图像（你能辨认是哪位不？这方法可以！）

[![6-e1275369611841.png][]][6-e1275369611841.png 1]

且说sparse representation这个概念，早在96-97年的时候就火了一把。最著名的大约要数Nature上的某篇文章，将稀疏性加入least square的regularization，然后得到了具有方向特性图像块（basis）。这样就很好的解释了初级视皮层（V1）的工作机理，即对于线段的方向选择特性。几乎同一时期，著名的LASSO算法也被发表在 J. Royal. Statist. Soc B。Lasso比较好的解决了least square (l2 norm) error + l1 norm regularization的问题。然而，这个时候绝大多数人没有意识到（或者没法解决）这l1 norm和稀疏性之间的联系。其实早在这之前，Osher等人提出的Total Variation （TV）已经包含了l1 norm的概念了，只不过TV原本是连续域上的积分形式。（啥？你不知道Osher…想想Level Set吧）

在进入现代的**压缩感知、稀疏表示**这一课题前，让我们来首先回顾下这一系列问题的核心，即线性方程组![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20y_Ax][]  
其中矩阵![mathtran_D_2_tex_20A_20_in_20R_7bm_20_times_20n_7d_20_quad_20m_20_ll_20n][]，通常而言是满秩的。向量![mathtran_D_2_tex_20x_20_in_20R_n_20_quad_20y_in_20R_m][]。现在已知![mathtran_D_2_tex_20y_20A][]，求解![mathtran_D_2_tex_20x][]。学过线性代数的同学可能都会说：这个不难啊，因为![mathtran_D_2_tex_20m_20_ll_20n][]， 故而这个方程组是欠定的，所以有无穷多组解啊，咱还可以算算基础解系啥的…

但是如果我们希望其解![mathtran_D_2_tex_20x][]尽可能的稀疏：比如![mathtran_D_2_tex_20_x_0][]（即![mathtran_D_2_tex_20x][]中非零元个数）尽可能的小。那么问题就会变得比较微妙了，下图给出了问题的形象示意。

[![sparse-300x186.png][]][sparse-300x186.png 1]

换言之给定m维空间中一组过完备的基 ![mathtran_D_2_tex_20A_20_in_20R_7bm_20_times_20n_7d][]，如何选择最少个数的基向量，重构给定向量 ![mathtran_D_2_tex_20y_20_in_20R_7bm_7d][]，其严格定义可以写成  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7b_x_0_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20Ax_20_20y][]

时光之轮播快到2003~2004年，Donoho & Elad做了一个很漂亮的证明，如果矩阵![mathtran_D_2_tex_20A][]满足某种条件，具体而言：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_sigma_28A_29_20_geq_202_x_0][]  
那么上文提及的0范数优化问题具有唯一的解。这里的![mathtran_D_2_tex_20_sigma_28A_29][]是个比较诡异（请允许我使用这词）的定义：最小的线性相关的列向量集所含的向量个数（吐槽：明白了么，我做TA的时候就被这个问题问倒了）。本来想在这个概念上唠叨两句，后来发现了Elad的一个[talk][]，清晰明了。

即便是唯一性得到了证明，求解这个问题仍然是NP难的。科研的车轮滚滚向前，转眼到了2006年，传奇性的华裔数学家Terrence Tao登场了，Tao和Donoho的弟子Candes合作证明了在RIP条件下，0范数优化问题与以下1范数优化问题具有相同的解：  
![mathtran_D_2_tex_20_min_7b_x_1_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20Ax_20_20y][]  
其中RIP条件，即存在满足某种条件的（与N相关）常数:![mathtran_D_2_tex_20_mu_N][]  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_281-_mu_N_29_x_2_2_20_leq_20_Ax_2_2_20_leq_20_281_mu_N_29_20_x_2_2_20_quad_20_forall_20x_20_quad_20_x_0_20_leq_20N][]  
RIP条件是对于矩阵![mathtran_D_2_tex_20A][]列向量正交性的一种衡量（此处咱就不细说了）。其实早在1993年Mallat就提出过Mutual Coherence对于正交性进行度量，并提出了下文还要提及的matching pursuit方法。

实际上以上的1范数优化问题是一个凸优化，故而必然有唯一解，至此sparse representation的大坑初步成型。总结一下：  
1. 如果矩阵满足![mathtran_D_2_tex_20_sigma_28A_29_20_geq_202_x_0][]，则0范数优化问题有唯一解。  
2. 进一步如果矩阵![mathtran_D_2_tex_20A][]满足RIP条件，则0范数优化问题和1范数优化问题的解一致。  
3. 1范数优化问题是凸优化，故其唯一解即为0范数优化问题的唯一解。

进一步可以考虑含噪声情况，即  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7b_x_0_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20_Ax_20-_20y_2_2_20_leq_20_varepsilon][]  
可以得到相似的结果，有兴趣的同学可以查阅相关文献。理论坑只有大牛能挖，但一般人也能挖挖这个优化算法啊，于是SP、ML、CV邻域里都有做这个优化算法的，这个出招可就真是五花八门了。据我所知，大致可以分为三大流派：  
1. 直接优化  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7b_x_0_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20_Ax_20-_20y_2_2_20_leq_20_varepsilon][]  
一般的方法是greedy algorithm，代表有Matching Pursuit, Orthogonal Matching Pursuit  
2. 优化  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7b_Ax_20-_20y_2_2_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20_x_1_20_leq_20_varepsilon][]  
还记得上面提到的LASSO么，这就是它的模型。  
3. 如果已知拉格朗日乘子，优化无约束凸优化问题  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_x_20_frac_7b1_7d_7b2_7d_y-Ax_2_2_20_2B_20_lambda_x_1][]  
解这个的方法现在基本上soft thresholding的方法一统天下，常见的有coordinate descent, Bregman Iteration (又是Osher)等  
4. 如果未知拉格朗日乘子，优化  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7bx_lambda_7d_frac_7b1_7d_7b2_7d_y-Ax_2_2_20_2B_20_lambda_x_1][]  
这类方法又叫Homotopy，可以认为是3的扩展。核心出发点是objective function是![mathtran_D_2_tex_20_lambda][]的分段线性函数。

除此之外，还有利用p范数逐次逼近0范数的方法等等，此处不再赘述。顺道说一句，稀疏表示在不同的领域连名称都不同，搞信号的管这个叫basis pursuit，搞统计的叫l1 regularization….然后，让我们把话题拉回到Nature的那篇文章：如果我们不知道矩阵![mathtran_D_2_tex_20A][]，只知道一堆向量![mathtran_D_2_tex_20_7by_i_7d][]。我们应当如何构造![mathtran_D_2_tex_20A][]，使得在这一字典（矩阵）下![mathtran_D_2_tex_20_7by_i_7d][]的表示最稀疏？类比以上过程，这个问题被称为Dictionary Learning，可以写成以下优化问题：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7bx_i_20A_7d_sum_i_20_frac_7b1_7d_7b2_7d_y_i_20-_20Ax_i_2_2_20_2B_20_lambda_20_x_i_1][]

这个东西可就相对麻烦了，最关键的是这个优化不是凸的（优化变量相乘）。所以一般的想法是block descent：首先固定![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20A][]，优化![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20x_i][]（相当于多个独立的1范数优化问题）；其次将计算出的![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20x_i][]固定，优化![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20A][]，这就是一个（可能带约束）的least square问题。如此反复，直到算法收敛到某个（局部）极小值。实际上解这个问题的方法目前有三种：efficient sparse coding algorithm NIPS 06; K-SVD tsp 06; Online dictionary learning for sparse coding, ICML 09 & JMLR 10。前两种都是batch的方法，后一种是online的，据个人测试最后一种的方法比前两者要快很多很多….下面这个是我利用ICML09的方法从1200张彩色图像中训练出一组过完备基，具有比较好的方向特性。

[![basis.png][]][basis.png]

最后，还记得本文开头的那些demo么？INRIA做了一个sparse representation的matlab工具包[SPAMS][]，虽然不开源，但其效率（大部分时候）是现有公开工具包之冠（底层用了intel的MKL），利用这个工具包，几行简单的matlab代码就可以几乎实现以上提及的所有demo了….大家有兴趣的话，欢迎尝试^\_^

下期预告：借着collaborative filter的东风，Candes在08年又挖出了matrix completion的新坑。于是，当向量的1范数推广到矩阵的迹范数（trace norm）之后…..

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## （中） ##

在开始正文之前，咱首先得说明一下，这篇东西偏向于理论，各位看官可以自行跳过某些部分。这方面的工作奠基人同样也是compressive sensing的大牛之一E.J Candes（[Donoho][]的得意门生），以及Candes的学生[Ben Recht][]，前者刚从caltech被挖到stanford，后者目前刚到wisconsin做AP。[Candes][]大牛，stanford统计系出生，师从Donoho。Candes原来的主要工作集中在小波分析上（实际上C牛非常多产），比如著名的curvelets以及ridgelets，04年左右开始和Tao合作从事compressive sensing的理论工作，这里有他的[简要介绍][Link 1]。

继续唠叨，上回说到借着collaborative filtering的东风，矩阵的稀疏表示受到了广泛的关注。说到矩阵的稀疏性，大部分看官可能有所误解。这个矩阵稀疏表示严格而言可以分为两种：  
1. 矩阵元素的稀疏性，即矩阵非0元个数相对较少。参照向量的范数，同样可以定义矩阵的0范数，并将其松弛到矩阵的1范数的优化问题。  
2. 矩阵奇异值的稀疏性，即矩阵奇异值中非0元的个数（即矩阵的秩）相对较少。仿照向量情况下0范数与1范数的关系，同样可以将其松弛的到迹范数（trace norm）的优化问题。

咱下面会分别聊聊这两个问题。首先，咱的出发点是machine learning中的collaborative filtering，这个概念并不是啥新东西了，最早大约可以追朔到1992的某篇同名文章。这玩意是做啥的呢，通俗的说，每次你在淘宝上闲逛的时候，下面都会有一行推荐商品。这些个网络服务商（淘宝，Amazon, Ebay）就在想了，如果这个推荐系统做的足够好，那么消费者（比如你我）的购物欲望就会得到刺激，这个销量也就上去了。实际上，这和超市里玲琅满目的货架是一个道理。

这里就得提提[Netflix Prize][]这件事了，话说netflix是家在线dvd租赁公司，这公司就抱了同样的想法。不过这家公司想了个主意：该公司提供数据，出资100万美刀，奖励研发这个推荐系统算法的小组，并要求这些算法发表在学术会议或期刊之上。这可以算是现实版的百万富翁了（学术和money两不误），于是collaborative filtering着实火了一把（比如SIGKDD上的不少文章）。最终历时两年，由AT&T实验室成员组成的BellKor’s Pragmatic Chaos赢得了这100万刀。顺到一提，国内也有不少家伙参与了这个Prize，比如排名第二的Ensemble组里就能看到中科院某所学生的身影。

这个推荐系统咋做呢？我们先从简单的模型开始。以netflix为例，netflix有个影评系统，在你租完DVD以后会让你打分（1-5分）。当然不是所有人都会认真去打，实际上只有少数家伙会给打分（这世界上懒人何其之多）。同样，对每个用户而言，他也只可能给部分看过的DVD打分。假设现在有![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20m][]个用户和![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20n][]部电影，如果把所有评分列成一张大表，可以得到矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20D_20_in_20R_7bm_times_20n_7d][]。其中，每一行对应一个用户的评分，每一列对应一部电影的用户评价。可以想象，这个矩阵中只有少部分元素是已知的（图1）。

[![cfilter.jpg][]][cfilter.jpg]

从现有的用户数据，来预测未知的用户数据，这就是collaborative filtering了。那么这个东西怎么实现呢？解释起来难，做起来容易，这个模型放在在topic model里叫做[Probabilistic latent semantic analysis （PLSA）][Probabilistic latent semantic analysis _PLSA]，放在代数里叫做矩阵分解（Matrix Fatorization）或者矩阵填充（Matrix Completion），这里就只能形象的解释下。虽然用户千奇百怪、电影成千上万，但总可以归结为若干类型：比如有腐女向、宅男向电影之分，再比如有悲剧也有喜剧。如果把这些latent factor画成一个空间，那么不同的用户群体应当位于这个latent factor空间的不同位置，体现了不同用户的喜好。如果可以把用户喜好连同潜在的latent factor一同计算出来，预测也自然水到渠成了。从某种角度来看，奇异值分解过程也就是上述的剥离latent factor和用户喜好的过程，这其中的philosophy可以参见[这篇文章][Link 2]。

咱首先要谈的是矩阵奇异值的稀疏性，为此先来回忆下奇异值分解![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M_20_20USV][]。  
1. 奇异值非负，即![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_sigma_i_28M_29_20_geq_200][]  
2. 奇异值非0元的个数即为矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的秩（rank）  
如果把奇异值写成对角矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20S][]的形式（比如SVD分解的标准形式），其对角元为![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_sigma_i_28M_29_20_geq_200][]。进一步，矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的迹范数（trace norm）![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_M_7btr_7d][]定义为矩阵奇异值之和，即有  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_M_7btr_7d_20_20_sum_i_20_sigma_i_28M_29][]  
现在我们可以把collaborative filtering的基本问题回顾一下，给定一张推荐数据表![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20D_20_in_20R_7bm_times_20n_7d][]，已知其下标子集![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_Omega][]中的元素（也就是有评分的部分），如何恢复这个矩阵？这就是matrix completion的问题了…

乍眼一看，这基本就是mission impossible了，即使只有一个元素未知，这个矩阵也不可能唯一。但是如果我们加一些限制条件，这个问题就变得有趣起来了。Candes考虑的是这么一个问题：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_quad_20s.t._20_quad_20P_7b_Omega_7d_28_tilde_7bM_7d-M_29_20_0][]  
其中![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_20P_7b_Omega_7d_28_29][]表示在子集![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_Omega][]上的投影（即只取子集上的对应元素）。实际上，同样的问题可以有不同的表达形式，如果把这个优化问题稍作调整，可以得到相对容易解释的模型：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_P_7b_Omega_7d_28_tilde_7bM_7d-M_29_20_F_2_20_quad_20s.t._20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_leq_20R_c][]  
其中Frobenius范数也就是矩阵的2范数。从这个式子来看，我们希望找到这么一个矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_20_tilde_7bM_7d][]，使得其在已有的数据上和用户评分![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_20_M][]尽可能的一致（2范数意义下），同时具有比较低的秩（受到上限![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20R_c][]的约束）。这里对于秩的约束，很多时候是为了降低模型自身的复杂度（比如collaborative filtering，multiple instance learning）。当然，这里也可以看成是一个fidelity term + regulariztion term的经典形式。

实际上矩阵的rank是一个不那么友好的函数，rank自身是非凸、不连续的，最后的结果就是对于rank的优化问题是NP难的。类比0范数与1范数的关系，矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的秩（rank）相当于这个对角阵的0范数；矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的迹范数（trace norm）![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_M_7btr_7d][]相当于这个对角矩阵的1范数。为此，如果这个对角矩阵足够稀疏，即矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的秩![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20r_20_ll_20min_20_28m_n_29][]，那么可参照向量的稀疏表示，利用矩阵的迹范数(trace norm)代替矩阵的秩（rank）。  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_20_tilde_7bM_7d_7btr_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20P_7b_Omega_7d_28_tilde_7bM_7d-M_29_20_0][]  
同样，由于迹范数(trace norm)是凸的，上式是一个凸优化问题，故而必有唯一的最优解。如果这种近似是可以接受的，那么这个问题自然也就解决了。

这种近似靠谱么？这就是Candes和Recht回答的[关键问题][Link 3]。Candes从random orthogonal model出发，证明了在此假设下从某个秩为![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20r][]的真实矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M_20_in_20R_7bm_20_times_20n_7d][]中均匀抽取![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20k][]个元素，且满足(这里不妨设![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20m_20_leq_20n][]，反之只需要转置即可)  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20k_20_geq_20Cn_7b_frac_7b6_7d_7b5_7d_7dr_log_7bn_7d][]  
则凸优化问题的唯一最优解![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M_7b_ast_7d][]至少以概率![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_201-cn_7b-3_7d][]逼近原始矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]，即有  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20P_28M_7b_ast_7d_20_20M_29_20_geq_201-cn_7b-3_7d][]  
其中![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20c_20C][]均为某常数。更进一步，如果矩阵的秩![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20r][]足够小，对于元素数量![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20k][]的要求会进一步降低。

咱来聊聊这个结果，这说明在random orthogonal model假设成立的条件下，如果![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20r][]相对于![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_20min_20_28m_n_29][]比较小，那么只需要知道这个矩阵中约![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20O_28n_7b_frac_7b5_7d_7b4_7d_7d_29][]个元素，就可以很高的概率恢复出这个矩阵。举例而言，如果我们有一个![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_204096_4096][]秩为10的矩阵，那我们大致只需要从中随机抽取约270万个元素就可以（以很高概率）恢复出原始矩阵了(当然270万貌似也是一个很大的数，但原始矩阵约含有1700万个元素…）。实际上，这是一个相对保守的界，Recht在此基础上还进行了一系列的理论工作。自从出现了这个之后，under mild condition，大家都把rank直接放成trace norm了…从实用的角度来说，Candes告诉我们用凸优化去近似一个NP问题，可能得到很好的解。从实验结果来看（[代码见此][Link 4]），这种近似有时候效果一流，但有时候也根本不work（违背了假设条件），故而具体问题还得具体对待。

虽然早在04年NIPS上，就有人提出了类似的优化方法[（MMMF）][MMMF]，用trace norm代替rank，并且ML领域中也确实有不少类似的工作。但是，Candes的工作解决了根本的理论问题，并为一系列的rank minimization的问题指了一条出路。这里有一个比较有意思的地方是，MMMF是从构造最大间隔线性分类器的角度出发来考虑matrix factorization的问题，并且用的是low norm，但和matrix completion的模型本质上是差不多的，两者关系大家可以自行推导下。

咱接着要讨论的是矩阵元素的稀疏性，这个工作也和Candes有着很大的关系。咱先把上面的公式照着copy一遍：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_P_7b_Omega_7d_28_tilde_7bM_7d-M_29_20_F_2_20_quad_20s.t._20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_leq_20R_c][]  
如果咱已知矩阵![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20M][]的全部元素，这个东西类似很常见的PCA了：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_tilde_7bM_7d-M_29_F_2_20_quad_20s.t._20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_leq_20R_c][]  
这样问题就变成了去噪+降维。进一步把F范数（2范数）改写为0范数：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_tilde_7bM_7d-M_29_0_20_quad_20s.t._20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_leq_20R_c][]  
为啥是0范数呢，这是基于这么一种假设：误差相对于总体样本而言总是稀疏的。于是，我们可以引入辅助变量表示误差![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20S][]，并把上式稍作改写：  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_20S_7d_20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_2B_20_20_lambda_S_0_20_quad_20s.t._20_quad_20_tilde_7bM_7d_20_2B_20S_20_20M][]  
这里的![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_lambda][]用于平衡矩阵的秩和误差的稀疏性。同样，rank和0范数什么的都是相当讨厌的东西，于是咱松弛一下，就有  
![mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_20S_7d_20_quad_20_tilde_7bM_7d_7btr_7d_20_2B_20_20_lambda_S_1_20_quad_20s.t._20_quad_20_tilde_7bM_7d_20_2B_20S_20_20M][]  
这就是Robust Principle Component Analysis (RPCA) 或者Principle Component Pursuit 的核心模型了。这幅图很好的说明了RPCA和PCA的区别（转自Yi Ma主页）。

(libo：上图注释有误，两图中蓝色为RPCA，绿色为PCA，两图分别展示了在有噪声，和有错误数据corruption的情况下RPCA和PCA的结果)

说起RPCA，这里岔开两句，这个东西原来是[Yi Ma][]的学生John Wright发在NIPS09上的一篇文章。结果接收之后，被Candes指出了一个bug（审稿人没看出来），于是Candes对这个问题进行了考虑，从而就有了一篇叫做[《Robust Principal Component Analysis?》][Robust Principal Component Analysis]的文章（preprint）。Candes证明了在同matrix completion基本相同的假设下，这种近似以很高的概率恢复精确结果（详细结果可见RPCA的论文）。特别的，此时可以简单选择参数![20_sqrt_7bmax_28m_n_29_7d][]。Matrix Completion（MC）和 RPCA在Yi Ma的主页上有一个[简单的介绍][Link 5]，上面列举了相关文献与代码的链接。

MC和RPCA在computer vision上有啥用呢？John Wright在NIPS的文章里做了两个实验：背景建模，人脸阴影去除。大家有兴趣可以查查cvpr 10的paper, 有用MC来做video denoising的，有用RPCA来做人脸对齐的…还有那篇best paper也是紧密相关。咱本来还想聊聊这些模型的优化算法，鉴于篇幅所限，就只能留到（下）篇去了。

看了Ma Yi的工作后，才开始对Sparse represenation开始感兴趣。从最开始的惊奇，到中间的觉得无用，再到现在觉得还是有点用，其对这整套想法的把握真可谓一曲三折。不过总得来说，都是在项目和实验的驱动下进行的。

和ML的人不同，我们关注的点在CV中的application。解决图像分类中重要的一个方法是bag of features，也就是形成很多words图像patch后，去fit新的图，然后送去投票编码，最后分类。

其中一个很关键的步骤是怎么得到这些words的图像patch？一种方法是K-means做聚类。当然这个方法有很多naive的假设，不过总得来说效果凑合。所以最近几年大家都在死命搞features extraction，直到发现最后无论如何都打不败的是SIFT,HOG之流。

当然，科学总在进步中。大家发现feature这块都做不动了，自然开始动其他的念头，要不转行去做其他应用，要么得用ML的新工具了。最近在ICCV上发现在K-means上的重大改进，其核心就是放松了原来kmeans聚类后分配新样本去哪个类的分配方式，加上考虑到什么locally constraints，最后取得了相当好的效果。仅仅和最基本的dense sift+linear svm就打败了multiple features+nonlinear svm。哈，仔细研究了论文，发现解那个式子，可以用lasso搞搞。没准回头可以实现一下。

sparse很好，但是并不是什么新问题和新方法。总结一下这个熟悉又陌生的新思潮吧。这个总结有很多版本，看过Prfans上的，不过现在prfans好像down掉了。

最最开始要算Terrance Tao在IT上那篇best papers，因为他是华人，长得特别像电影明星，然后20+就当UCLA的教授。。。所以很吸引人。不过关于这个方面在CV还有ML开始火还在于以下几篇文章作者的工作吧。

首先是这篇文章，  
John Wright, Allen Yang, Arvind Ganesh, Shankar Shastry, and Yi Ma, [Robust face recognition via sparse representation][]. (To appear in IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence)

大致做法就是用training data表出新的data，即新的x是training data的线性组合，如果training data数大大小于feature数，那么这就相当于CS里的x\_0=Ax，A的每列是个sample，x是每个sample的权重。于是给出新的 x\_0，可以通过优化x的l\_1找到最sparse的解，即用最少数量的sample表出新的点。然后还可以在Ax前乘个measurement matrix，用来做特征选择，其实就是进一步降维。我在yaleB上的实验也证明了这个方法还是比较好的。但是中间的小trick是：  
如果我用来做遮挡问题，那么训练库中的样本出现问题后，测试集上的结果就将变得相当差。比如用张猴子脸训练，检测人脸的时候用许多脸来拼凑，最后得到的是猴子脸而不是人脸。。。  
比较囧的是，好多CVPR和ICCV上2009的文章都来follow这种motivation的工作。

然后这篇文章也挺有意思的  
Robert Calderbank, Sina Jafarpour, and Robert Schapire, [Compressed learning: Universal sparse dimensionality reduction and learning in the measurement domain][Compressed learning_ Universal sparse dimensionality reduction and learning in the measurement domain](Preprint, 2009)

其中， 证明了measurement space里train个svm和原空间里train的svm是同一个问题。关键或许是 投影到多个space里去，然后在每个space里 train，然后做boosting，类似于multi-view learning。感觉最近muliti-kernel learning是个大趋势呀。  
当然一些研究还得结合自己问题的数据上的特殊性解决才行。

给一些关于Compression Sensing(Sparse Representation方面的链接：  
Compressive Sensing资源主页：  
[Compressive Sensing Resources][] （最权威最全面的Compressive Sensing资源主页，几乎什么都能找的到）；  
[Compressive Sensing][] （和上面的差不多）；  
[Compressive Sensing Listing][]； [马毅的课程主页][Link 6]  
[Compressive Sensing Videos][]；[Compressed Sensing Codes][] （还有[Compressive Sensing Resources][] 的Software一栏中）；  
[Nuit Blanche][]；[Compressive Sensing: The Big Picture][Compressive Sensing_ The Big Picture]；[Terence Tao][]‘s [What’s new][What_s new];

理论方面的代表人物：  
[David Donoho][]; [Emmanuel Candes][];

转载自视觉计算研究论坛【[http://www.sigvc.org/bbs/thread-1951-1-1.html][http_www.sigvc.org_bbs_thread-1951-1-1.html]】

[http_www.cvchina.info_2010_06_01_sparse-representation-vector-matrix-tensor-1]: http://www.cvchina.info/2010/06/01/sparse-representation-vector-matrix-tensor-1/
[tutorial]: http://www.di.ens.fr/~mairal/tutorial_iccv09/
[1-e1275370522475.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/1-e1275370522475.png
[1-e1275370522475.png 1]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/%E5%9B%BE%E7%89%871.png
[E5_9B_BE_E7_89_872.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/%E5%9B%BE%E7%89%872.png
[E5_9B_BE_E7_89_873.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/%E5%9B%BE%E7%89%873.png
[4-e1275369409484.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/4-e1275369409484.png
[7-e1275369552926.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/7-e1275369552926.png
[7-e1275369552926.png 1]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/%E5%9B%BE%E7%89%877.png
[sparse face]: http://watt.csl.illinois.edu/~perceive/recognition/Home.html
[6-e1275369611841.png]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/6-e1275369611841.png
[6-e1275369611841.png 1]: http://www.cvchina.info/wp-content/uploads/2010/06/%E5%9B%BE%E7%89%876.png
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20y_Ax]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20y=Ax
[mathtran_D_2_tex_20A_20_in_20R_7bm_20_times_20n_7d_20_quad_20m_20_ll_20n]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20A%20\in%20R^%7bm%20\times%20n%7d%20\quad%20m%20\ll%20n
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[mathtran_D_2_tex_20y_20A]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20y,%20A
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[mathtran_D_2_tex_20_sigma_28A_29]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\sigma%28A%29
[talk]: http://www.cs.technion.ac.il/~elad/talks/2009/Ecole_Polytechnique_MMSE_April_2009.ppt
[mathtran_D_2_tex_20_min_7b_x_1_7d_20_quad_20s.t._20_quad_20Ax_20_20y]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\min%7b\|x\|_1%7d%20\quad%20s.t.%20\quad%20Ax%20=%20y
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[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_x_20_frac_7b1_7d_7b2_7d_y-Ax_2_2_20_2B_20_lambda_x_1]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20\min_x%20\frac%7b1%7d%7b2%7d\|y-Ax\|_2^2%20%2B%20\lambda\|x\|_1
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7bx_lambda_7d_frac_7b1_7d_7b2_7d_y-Ax_2_2_20_2B_20_lambda_x_1]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20\min_%7bx,\lambda%7d\frac%7b1%7d%7b2%7d\|y-Ax\|_2^2%20%2B%20\lambda\|x\|_1
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[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_min_7bx_i_20A_7d_sum_i_20_frac_7b1_7d_7b2_7d_y_i_20-_20Ax_i_2_2_20_2B_20_lambda_20_x_i_1]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20\min_%7bx_i,%20A%7d\sum_i%20\frac%7b1%7d%7b2%7d\|y_i%20-%20Ax_i\|_2^2%20%2B%20\lambda%20\|x_i\|_1
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[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20c_20C]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20c,%20C
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_20min_20_28m_n_29]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20%20min%20%28m,n%29
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20O_28n_7b_frac_7b5_7d_7b4_7d_7d_29]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20O%28n^%7b\frac%7b5%7d%7b4%7d%7d%29
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_204096_4096]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%204096*4096
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[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_7d_20_quad_20_tilde_7bM_7d-M_29_F_2_20_quad_20s.t._20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_leq_20R_c]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20min_%7b\tilde%7bM%7d%7d%20\quad%20\|\tilde%7bM%7d-M%29\|_F^2%20\quad%20s.t.%20\quad%20rank%28\tilde%7bM%7d%29%20\leq%20R_c
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[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_20S_7d_20_quad_20rank_28_tilde_7bM_7d_29_20_2B_20_20_lambda_S_0_20_quad_20s.t._20_quad_20_tilde_7bM_7d_20_2B_20S_20_20M]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20min_%7b\tilde%7bM%7d,%20S%7d%20\quad%20rank%28\tilde%7bM%7d%29%20%2B%20%20\lambda\|S\|_0%20\quad%20s.t.%20\quad%20\tilde%7bM%7d%20%2B%20S%20=%20M
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20_lambda]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20\lambda
[mathtran_D_2_tex_20_displaystyle_20min_7b_tilde_7bM_7d_20S_7d_20_quad_20_tilde_7bM_7d_7btr_7d_20_2B_20_20_lambda_S_1_20_quad_20s.t._20_quad_20_tilde_7bM_7d_20_2B_20S_20_20M]: http://mathtran.open.ac.uk/cgi-bin/mathtran?D=2;tex=%20\displaystyle%20min_%7b\tilde%7bM%7d,%20S%7d%20\quad%20\|\tilde%7bM%7d\|_%7btr%7d%20%2B%20%20\lambda\|S\|_1%20\quad%20s.t.%20\quad%20\tilde%7bM%7d%20%2B%20S%20=%20M
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