令人敬畏的泰勒级数（Taylor series）的通俗看法及机器学习应用

我会带着你远行 2022-09-12 12:43 186阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  内容介绍
 *  幂级数
 *  Taylor级数
 *  Taylor级数展开的举例
 *  泰勒多项式的近似值
 *  泰勒级数的更多例子
 *  机器学习中的Taylor级数

# 内容介绍 #

**泰勒级数（Taylor series）展开** 也叫 **泰勒展开式** 是一个令人敬畏的概念，不仅在数学领域，而且在优化理论、函数逼近和机器学习方面也是如此。当需要估计函数在不同点的值时，它在数值计算中得到了广泛的应用。

在文中，您将了解 **泰勒级数**，以及如何使用 **泰勒级数** 展开来近似函数在不同点周围的值。

本文分为三个部分：幂级数和Taylor级数、Taylor多项式、基于Taylor多项式的函数近似值。

# 幂级数 #

下面是关于中心x=a和常数系数c\_0，c\_1等的幂级数。  
![在这里插入图片描述][68e06bf7a52b4432939fc63d62f4480b.png]

# Taylor级数 #

一个令人惊奇的事实是，无穷次可微函数可以产生一个叫做Taylor级数的幂级数。假设我们有一个函数f(X)，f(X)在给定的区间上有所有阶的导数，那么f(X)在x=a处产生的Taylor级数由：  
![在这里插入图片描述][6911aafeea2348efb9c2a1be9f1ea15b.png]  
上述表达式的第二行给出了KTH系数的值。

如果我们设置a=0，那么我们就有一个叫做f(X)的 **Maclaurin级数** 展开的展开式。

# Taylor级数展开的举例 #

由f(X)=1/x生成的Taylor级数可以通过首先微分函数和找到KTH导数的一般表达式来得到。

![在这里插入图片描述][b09e3236803648968f5ab7dc602fe7bd.png]  
现在可以找到关于不同点的Taylor级数。例如：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBATXLmlbDmja7mnag_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]  
泰勒多项式

由f(X)在x=a处生成的k阶Taylor多项式是由以下方法给出的：  
![在这里插入图片描述][f9c71259384e467fb1a156b3a582fa47.png]  
对于f(X)=1/x的例子，2阶Taylor多项式由以下方法给出：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBATXLmlbDmja7mnag_size_10_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

# 泰勒多项式的近似值 #

我们可以用Taylor多项式在点x=a上逼近函数的值。多项式的阶次越高，多项式中的项越多，逼近函数的实际值越近。

在下图中，函数1/x围绕点x=1(左)和x=3(右)绘制。绿色线是实际函数f(X)=1/x，粉红线用2阶多项式表示近似。

**实际函数(绿色)及其近似(粉红色)**  
![实际函数(绿色)及其近似(粉红色)][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBATXLmlbDmja7mnag_size_20_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16 1]

# 泰勒级数的更多例子 #

让我们看函数g(X)=e^x。注意到g(X)的KTH阶导数也是g(X)，g(X)关于x=a的展开式是：  
![在这里插入图片描述][7de9e3cca5fe4862b28e578dda670a0b.png]  
因此，在x=0附近，g(X)的级数展开由(通过设置a=0获得)给出：  
![在这里插入图片描述][40390a6ae4804e92bd76e40233e134a6.png]  
函数e^x围绕点x=0生成的k阶多项式由以下方法给出：  
![在这里插入图片描述][84e7c0169ef343b08ccb96c1368a4e31.png]  
下面的图表示不同阶的多项式，估计x=0附近的e^x 的值。我们可以看到，当我们从零移开时，我们需要更多的项来更准确地近似e^x。表示实际函数的绿线隐藏在7阶近似多项式的蓝线后面。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s_shadow_50_text_Q1NETiBATXLmlbDmja7mnag_size_19_color_FFFFFF_t_70_g_se_x_16]

# 机器学习中的Taylor级数 #

在机器学习中，一种常用的求函数最优点的方法是牛顿法。牛顿法用二阶多项式逼近函数的值。这种利用二阶导数的方法称为二阶优化算法。

[68e06bf7a52b4432939fc63d62f4480b.png]: /images/20220828/9411691cbfaa412ba257231805ec89a1.png
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