一步步学算法(算法分析)---6(Floyd算法)

￡神魔★判官ぃ 2022-09-08 00:20 14阅读 0赞

**Floyd[算法][Link 1]**

**Floyd[算法][Link 1]又称为[弗洛伊德算法][Link 2]，插点法，是一种用于寻找给定的[加权图][Link 3]中顶点间[最短路径][Link 4]的算法。该[算法][Link 1]名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授[罗伯特·弗洛伊德][Link 5]命名。**

**正如我们所知道的，Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)。  
Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。**  
  
很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )
    {
        for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )
        {
            for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )
            {
                if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )
                {
                    // 找到更短路径
                    Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
                }
            }
        }
    }

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。  
  
让我们来看一个例子，看下图：

![Center][]

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )
    {
        for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )
        {
            for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )
            {
                if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )
                {
                    // 找到更短路径
                    Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
                }
            }
        }
    }

这样一来，对于每一个节点X，我们都会把所有的i到j处理完毕后才继续检查下一个节点。  
  
那么接下来的问题就是，我们如何找出最短路径呢？这里需要借助一个辅助数组Path，它是这样使用的：Path(AB)的值如果为P，则表示A节点到B节点的最短路径是A->...->P->B。这样一来，假设我们要找A->B的最短路径，那么就依次查找，假设Path(AB)的值为P，那么接着查找Path(AP)，假设Path(AP)的值为L，那么接着查找Path(AL)，假设Path(AL)的值为A，则查找结束，最短路径为A->L->P->B。  
  
那么，如何填充Path的值呢？很简单，当我们发现Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)成立时，就要把最短路径改为A->...->X->...->B，而此时，Path(XB)的值是已知的，所以，Path(AB) = Path(XB)。（Path(XB) ＝ Y. 其中 x->... ->Y->B 所得的Y也是Path(AB) 的值 A->...->X->...->Y->B）  
  
好了，基本的介绍完成了，接下来就是实现的时候了，这里我们使用图以及邻接矩阵：

#define INFINITE 1000           // 最大值
    #define MAX_VERTEX_COUNT 20 　　// 最大顶点个数
    //
     
    struct Graph
    {
        int     arrArcs[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];    // 邻接矩阵
        int     nVertexCount;                               　　// 顶点数量
        int     nArcCount;                                  　　// 边的数量
    };
    //

首先，我们写一个方法，用于读入图的数据：

void readGraphData( Graph *_pGraph )
    {
        std::cout << "请输入顶点数量和边的数量: ";
        std::cin >> _pGraph->nVertexCount;
        std::cin >> _pGraph->nArcCount;
     
        std::cout << "请输入邻接矩阵数据:" << std::endl;
        for ( int row = 0; row < _pGraph->nVertexCount; ++row )
        {
            for ( int col = 0; col < _pGraph->nVertexCount; ++col )
            {
                std::cin >> _pGraph->arrArcs[row][col];
            }
        }
    }

接着，就是核心的Floyd算法：

void floyd( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )
    {
        // 先初始化_arrPath
        for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
        {
            for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
            {
                _arrPath[i][j] = i;
            }
        }
        //
     
        for ( int k = 0; k < _nVertexCount; ++k )
        {
            for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
            {
                for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
                {
                    if ( _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j] < _arrDis[i][j] )
                    {
                        // 找到更短路径
                        _arrDis[i][j] = _arrDis[i][k] + _arrDis[k][j];
     
                        _arrPath[i][j] = _arrPath[k][j];
                    }
                }
            }
        }
    }

OK，最后是输出结果数据代码：

void printResult( int _arrDis[][MAX_VERTEX_COUNT], int _arrPath[][MAX_VERTEX_COUNT], int _nVertexCount )
    {
        std::cout << "Origin -> Dest   Distance    Path" << std::endl;
     
        for ( int i = 0; i < _nVertexCount; ++i )
        {
            for ( int j = 0; j < _nVertexCount; ++j )
            {
                if ( i != j )   // 节点不是自身
                {
                    std::cout << i+1 << " -> " << j+1 << "\t\t";
                    if ( INFINITE == _arrDis[i][j] )    // i -> j 不存在路径
                    {
                        std::cout << "INFINITE" << "\t\t";
                    }
                    else
                    {
                        std::cout << _arrDis[i][j] << "\t\t";
     
                        // 由于我们查询最短路径是从后往前插，因此我们把查询得到的节点
                        // 压入栈中，最后弹出以顺序输出结果。
                        std::stack<int> stackVertices;
                        int k = j;
                         
                        do
                        {
                            k = _arrPath[i][k];
                            stackVertices.push( k );
                        } while ( k != i );
                        //
     
                        std::cout << stackVertices.top()+1;
                        stackVertices.pop();
     
                        unsigned int nLength = stackVertices.size();
                        for ( unsigned int nIndex = 0; nIndex < nLength; ++nIndex )
                        {
                            std::cout << " -> " << stackVertices.top()+1;
                            stackVertices.pop();
                        }
     
                        std::cout << " -> " << j+1 << std::endl;
                    }
                }
            }
        }
    }

好了，是时候测试了，我们用的图如下:

![Center 1][]

测试代码如下：

int main( void )
    {
        Graph myGraph;
        readGraphData( &myGraph );
        //
     
        int arrDis[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];
        int arrPath[MAX_VERTEX_COUNT][MAX_VERTEX_COUNT];
     
        // 先初始化arrDis
        for ( int i = 0; i < myGraph.nVertexCount; ++i )
        {
            for ( int j = 0; j < myGraph.nVertexCount; ++j )
            {
                arrDis[i][j] = myGraph.arrArcs[i][j];
            }
        }
     
        floyd( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );
        //
     
        printResult( arrDis, arrPath, myGraph.nVertexCount );
        //
     
        system( "pause" );
        return 0;
    }

运行结果如下:

![Center 2][]

学习参考: http://www.cnblogs.com/twjcnblog/archive/2011/09/07/2170306.html

http://baike.baidu.com/link?url=cX54foL0Vsm2KsbQw-Bqz-KuLaqvhOzJ0NvDm7Tu6k4mHHktO83H3zpybanXo63f

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/7420.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/8789410.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/606176.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/349189.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/991418.htm
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