卡尔曼滤波器1——递归算法（笔记篇 + 代码实现）

本是古典何须时尚 2022-09-07 09:55 191阅读 0赞

## 前言 ##

本文是观看DR\_CAN老师的[视频][Link 1]后，简单总结了一下的笔记，并根据思路写了示例代码；这里主要讲卡尔曼滤波器与递归算法。

视频地址：[https://www.bilibili.com/video/BV1ez4y1X7eR][Link 1]

**目录**

一、卡尔曼滤波器

二、引言案例 测量硬币尺寸

三、卡尔曼公式

四、卡尔曼增益 Kalman Gain

五、更新估计误差

六、卡尔曼计算流程

七、实例应用卡尔曼算法

八、卡尔曼滤波-递归算法 Python版

--------------------

## 一、卡尔曼滤波器 ##

卡尔曼滤波器，Kalmen Filter；可理解为是一种算法：最优化 递归 数字处理 算法。它更像一种观测器，而不是一般意义的滤波器。卡尔曼滤波器应用非常广泛，主要是因为很多事物存在不确定性，不确定性体现在三个方面：

1.  不存在完美的数学模型；
2.  系统存在扰动，或很难建模；
3.  测量传感器存在误差。

## 二、引言案例 测量硬币尺寸 ##

不同的人员，测量同一个硬币，测量结果用![Z\_\{k\}][Z_k]表示，其中k是表示第k次测量；这里产生误差或不确定地方有：尺子本身的误差、不同人员测试的。

> 第一次测量结果，![Z\_\{1\}][Z_1] = 50.1mm；
> 
> 第二次测量结果，![Z\_\{2\}][Z_2] = 50.4mm； 
> 
> 第三次测量结果，![Z\_\{3\}][Z_3] = 50.2mm；

如果让我们“估计真实数据”，自然会想到取三次结果的平均值。估计值![\\hat\{x\_\{k\}\}][hat_x_k]，用平均值表示：

![\\hat\{x\_\{k\}\} =\\frac\{1\}\{k\}(Z\_\{1\}+Z\_\{2\}+........+Z\_\{k\})][hat_x_k_ _frac_1_k_Z_1_Z_2_........_Z_k]

![= \\frac\{1\}\{k\}(Z\_\{1\}+Z\_\{2\}+........+Z\_\{k-1\}) + \\frac\{1\}\{k\}Z\_\{k\}][_frac_1_k_Z_1_Z_2_........_Z_k-1_ _ _frac_1_k_Z_k]

![= \\frac\{1\}\{k\}\\frac\{k-1\}\{\{\\color\{Red\} k-1\}\}\{\\color\{Red\} (Z\_\{1\}+Z\_\{2\}+........+Z\_\{k-1\})\} + \\frac\{1\}\{k\}Z\_\{k\}][_frac_1_k_frac_k-1_color_Red_ k-1_color_Red_ _Z_1_Z_2_........_Z_k-1_ _ _frac_1_k_Z_k]     注释：红色部分是k-1次的平均值，![\\hat\{x\_\{k-1\}\}][hat_x_k-1]

![= \\frac\{k-1\}\{k\} \\hat\{x\_\{k-1\}\}+ \\frac\{1\}\{k\}Z\_\{k\}][_frac_k-1_k_ _hat_x_k-1_ _frac_1_k_Z_k]

![= \\hat\{x\_\{k-1\}\} -\\frac\{1\}\{k\}\\hat\{x\_\{k-1\}\}+\\frac\{1\}\{k\}Z\_\{k\}][_hat_x_k-1_ -_frac_1_k_hat_x_k-1_frac_1_k_Z_k]

重新整理后得到：![\\hat\{x\_\{k\}\} = \\hat\{x\_\{k-1\}\}+\\frac\{1\}\{k\}(Z\_\{k\}- \\hat\{x\_\{k-1\}\})][hat_x_k_ _ _hat_x_k-1_frac_1_k_Z_k_- _hat_x_k-1] ，其代表的含义是：

> **本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数\*(本次测量值 - 上一次的估计值)**

观察一下k变化的影响，k是测量的次数：

当k很大时，![\\frac\{1\}\{k\}][frac_1_k] 趋于0，这时估计值![\\hat\{x\_\{k\}\} = \\hat\{x\_\{k-1\}\}][hat_x_k_ _ _hat_x_k-1]，即：测试的次数很多后，本次的估计值，和上一次的估计值很接近了。

当k很小时，![\\frac\{1\}\{k\}][frac_1_k] 趋于1，这时估计值  ![\\hat\{x\_\{k\}\}=Z\_\{k\}][hat_x_k_Z_k]，即：测试的次数很少后，本次的估计值，取本次测量值更准确一些。

## **三、卡尔曼公式** ##

综上所得，卡尔曼公式如下，含义也简单解释一下：

> 本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数\*(本次测量值 - 上一次的估计值)
> 
>  ![\\hat\{x\_\{k\}\}= \\hat\{x\_\{k-1\}\} + K\_\{k\}(Z\_\{k\} - \\hat\{x\_\{k-1\}\})][hat_x_k_ _hat_x_k-1_ _ K_k_Z_k_ - _hat_x_k-1]

其中![K\_\{k\}][K_k]，Kalman Gain，表示卡尔曼增益/因素

通过公式可以看出来，本次的估计值![\\hat\{x\_\{k\}\}][hat_x_k 1]，与上一次的估计值![\\hat\{x\_\{k-1\}\}][hat_x_k-1 1]有关。然后上一次的估计值，由与上上次的估计值有关；这是一种递归的思想。

这也是卡尔曼滤波器的优势，它不需要追溯很久以上的数据，只需拿上一次的数据就可以了。

## 四、卡尔曼增益 Kalman Gain ##

如何计算这个卡尔曼增益，这里给出一个公式，后面有机会再详细解释和推导。在此之前，首先介绍两个概念：

估计误差![e\_\{EST\}][e_EST]，其中e是指error，误差的意思。EST是指Estimate，估计的意思。

测量误差![e\_\{MEA\}][e_MEA]，MEA是指Measure，测量的意思。真实值和测量值之间的误差。

卡尔曼增益![K\_\{k\}][K_k 1]公式如下：（小k是指计算次数；k-1是k的上一次。）

> 卡尔曼增益 = **上一次的估计误差** 除以 **(上一次的估计误差 + 本次的测量误差)**

CSDN的公式编辑中，编辑不了多重下标，贴一下老师的手写的公式，大家对比一下：

![20210823143101607.png][]

## 五、更新估计误差![e\_\{EST\}][e_EST] ##

估计误差在每次计算中，需要更新的，具体的公式如下：

![20210823153410945.png][]

公式含义：本次的估计误差 = （1 - 卡尔曼增益）\* 上一次的估计误差

## 六、卡尔曼计算流程 ##

首先计算卡尔曼增益![K\_\{k\}][K_k 1]，然后计算本次的估计值![\\hat\{x\_\{k\}\}][hat_x_k]，最后更新估计误差![e\_\{EST\}][e_EST]。

> 第一步：**卡尔曼增益** = 上一次的估计误差 除以 (上一次的估计误差 + 本次的测量误差)
> 
> 第二步：**本次的估计值** = 上一次的估计值 + 系数\*(本次测量值 - 上一次的估计值)
> 
> 第三步：**本次的估计误差** = （1 - 卡尔曼增益）\* 上一次的估计误差

![K\_\{k\} = \\frac\{e\_\{EST.\{\\color\{Red\} k-1\}\}\}\{ e\_\{EST.\{\\color\{Red\} k-1\}\} + e\_\{MEA.\{\\color\{Red\} k\}\} \}][K_k_ _ _frac_e_EST._color_Red_ k-1_ e_EST._color_Red_ k-1_ _ e_MEA._color_Red_ k_]

![\\hat\{x\_\{k\}\}= \\hat\{x\_\{k-1\}\} + K\_\{k\}(Z\_\{k\} - \\hat\{x\_\{k-1\}\})][hat_x_k_ _hat_x_k-1_ _ K_k_Z_k_ - _hat_x_k-1]

![e\_\{EST.\{\\color\{Red\} k\}\} = (1-k\_\{k\})e\_\{EST.\{\\color\{Red\} k-1\}\}][e_EST._color_Red_ k_ _ _1-k_k_e_EST._color_Red_ k-1]

如果错误请指出，谢谢；欢迎多多交流。

## 七、实例应用卡尔曼算法 ##

前面讲了这么多理论的，可能不是太清晰，下面用测量硬币的例子，观察一下卡尔曼滤波的魅力。

> 硬币实际长度：50mm
> 
> 用尺子手动测量误差是：3mm （即：测出来的结果范围在47mm——53mm之间）
> 
> 假设模型M能估计硬币的长度

首先让模型M估计一个结果，比如：认为硬币只有40mm；估计误差可能是5mm。

按照卡尔曼算法流程，首先计算卡尔曼增益![K\_\{k\}][K_k 1]，然后计算本次的估计值![\\hat\{x\_\{k\}\}][hat_x_k]，最后更新估计误差![e\_\{EST\}][e_EST]。 即：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMjA0NDY0_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

画一个表格，观察预测值，和手动测量值变化：

<table style="width:650px;"> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">k</td> 
   <td style="width:86px;"><img alt="Z_{k}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20Z_%7Bk%7D">测量值</td> 
   <td style="width:135px;"><img alt="e_{MEA.k}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20e_%7BMEA.k%7D">测量误差</td> 
   <td style="width:137px;"><img alt="k_{k}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20k_%7Bk%7D">卡尔曼增益</td> 
   <td><strong><img alt="\hat{x_{k}}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D">估计值</strong></td> 
   <td><img alt="e_{EST.k}" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20e_%7BEST.k%7D">估计误差</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">0</td> 
   <td style="width:86px;"></td> 
   <td style="width:135px;"></td> 
   <td style="width:137px;"></td> 
   <td><strong>40</strong></td> 
   <td>5</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">1</td> 
   <td style="width:86px;">52</td> 
   <td style="width:135px;">3</td> 
   <td style="width:137px;">0.625</td> 
   <td><strong>47.7</strong></td> 
   <td>1.875</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">2</td> 
   <td style="width:86px;">51</td> 
   <td style="width:135px;">3</td> 
   <td style="width:137px;">0.385</td> 
   <td><strong>48.847</strong></td> 
   <td>1.153</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">3</td> 
   <td style="width:86px;">47</td> 
   <td style="width:135px;">3</td> 
   <td style="width:137px;">0.278</td> 
   <td><strong>48.334</strong></td> 
   <td>0.832</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">4</td> 
   <td style="width:86px;">52</td> 
   <td style="width:135px;">3</td> 
   <td style="width:137px;">0.217</td> 
   <td><strong>49.13</strong></td> 
   <td>0.651</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td style="width:38px;">5</td> 
   <td style="width:86px;">49</td> 
   <td style="width:135px;">3</td> 
   <td style="width:137px;">0.178</td> 
   <td><strong>49.10</strong></td> 
   <td>0.535</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

能看虽然手动测量不稳定，存在3mm的误差，但经过卡尔曼滤波后，输出的估计逐渐趋于真实值50，而且也比较稳定。

**k =1；第一次手动测量为52mm**

![k\_\{1\} = \\frac\{5\}\{5+3\}=0.625][k_1_ _ _frac_5_5_3_0.625]

![\\hat\{x\_\{1\}\} = 40 + 0.625 (52 - 40)=47.5][hat_x_1_ _ 40 _ 0.625 _52 - 40_47.5]

![e\_\{EST.1\} = (1-0.625)\*5=1.875][e_EST.1_ _ _1-0.625_5_1.875]

**k =2；第二次手动测量为51mm**

![k\_\{2\} = \\frac\{1.875\}\{1.857+3\}=0.385][k_2_ _ _frac_1.875_1.857_3_0.385]

![\\hat\{x\_\{2\}\} = 47.5 + 0.385 (51 - 47.5)=48.847][hat_x_2_ _ 47.5 _ 0.385 _51 - 47.5_48.847]

![e\_\{EST.2\} = (1-0.385)\*1.875=1.153][e_EST.2_ _ _1-0.385_1.875_1.153]

后面的可以自己推算一下。

## 八、卡尔曼滤波-递归算法 Python版 ##

根据 卡尔曼滤波的流程，用Python写了一个代码，对应上面测量硬币的案例：

'''
    卡尔曼滤波器--递归算法
    Author: guopu
    date: 2021-8-23
    '''
    
    
    k = 0        # 计算次数
    
    msa = 0      # 手动测量结果
    e_MEA = 0.0  # 手动测量误差
    
    X_k0 = 0.0   # 上一次估计结果
    X_k = 0.0    # 本次估计结果
    
    e_EST0 = 0.0 # 上一次估计误差
    e_EST = 0.0  # 本次估计误差
    
    KK = 0.0     # 卡尔曼增益
    
    '''
    卡尔曼增益 = 上一次的估计误差 除以 (上一次的估计误差 + 本次的测量误差)
    '''
    def kalman_gain(e_EST0, e_MEA):
        return e_EST0/(e_EST0 + e_MEA)
    
    '''
    本次的估计值 = 上一次的估计值 + 系数*(本次测量值 - 上一次的估计值)
    '''
    def now_estimated_value(X_k0, kk, msa):
        return X_k0 + kk*(msa - X_k0)
    
    '''
    本次的估计误差 = （1 - 卡尔曼增益）* 上一次的估计误差
    '''
    def now_estimated_error(KK, e_EST0):
        return (1 - KK)*e_EST0
    
    
    # 初始化数据 
    true_Length = 50.0                # 硬币的真实长度
    msa_list = [52, 51, 47, 52, 49]   # 5次的手动测量结果
    e_MEA = 3.0                       # 手动测量误差
    X_k = 40.0                        # 初始估计结果
    e_EST = 5.0                       # 初始估计误差
    
    X_list = []                      # 用来存放估计值
    
    
    for k in range(0, len(msa_list)):
        KK = kalman_gain(e_EST, e_MEA)
        X_k = now_estimated_value(X_k, KK, msa_list[k])
        e_EST = now_estimated_error(KK, e_EST)
    
        print("\n k:", k+1)
        print("测量结果:", msa_list[k])
        print("估计结果:", X_k)
        X_list.append(X_k)
    
    print("\n真实长度", true_Length)
    print("\n5次测量结果:", msa_list)
    print("\n5次估计结果:", X_list)
    print("\n")

代码效果：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMjA0NDY0_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

本文只提供参考和学习，谢谢。

[Link 1]: https://www.bilibili.com/video/BV1ez4y1X7eR
[Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?Z_%7Bk%7D
[Z_1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?Z_%7B1%7D
[Z_2]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?Z_%7B2%7D
[Z_3]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?Z_%7B3%7D
[hat_x_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D
[hat_x_k_ _frac_1_k_Z_1_Z_2_........_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%28Z_%7B1%7D&plus;Z_%7B2%7D&plus;........&plus;Z_%7Bk%7D%29
[_frac_1_k_Z_1_Z_2_........_Z_k-1_ _ _frac_1_k_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%28Z_%7B1%7D&plus;Z_%7B2%7D&plus;........&plus;Z_%7Bk-1%7D%29%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7DZ_%7Bk%7D
[_frac_1_k_frac_k-1_color_Red_ k-1_color_Red_ _Z_1_Z_2_........_Z_k-1_ _ _frac_1_k_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cfrac%7Bk-1%7D%7B%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k-1%7D%7D%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%28Z_%7B1%7D&plus;Z_%7B2%7D&plus;........&plus;Z_%7Bk-1%7D%29%7D%20&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7DZ_%7Bk%7D
[hat_x_k-1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D
[_frac_k-1_k_ _hat_x_k-1_ _frac_1_k_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3D%20%5Cfrac%7Bk-1%7D%7Bk%7D%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D&plus;%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7DZ_%7Bk%7D
[_hat_x_k-1_ -_frac_1_k_hat_x_k-1_frac_1_k_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%3D%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D%20-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7DZ_%7Bk%7D
[hat_x_k_ _ _hat_x_k-1_frac_1_k_Z_k_- _hat_x_k-1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D%20%3D%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%28Z_%7Bk%7D-%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D%29
[frac_1_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D
[hat_x_k_ _ _hat_x_k-1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D%20%3D%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D
[hat_x_k_Z_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D%3DZ_%7Bk%7D
[hat_x_k_ _hat_x_k-1_ _ K_k_Z_k_ - _hat_x_k-1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D%3D%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D%20&plus;%20K_%7Bk%7D%28Z_%7Bk%7D%20-%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D%29
[K_k]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfn_jvn%20K_%7Bk%7D
[hat_x_k 1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7Bk%7D%7D
[hat_x_k-1 1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7Bk-1%7D%7D
[e_EST]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20e_%7BEST%7D
[e_MEA]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20e_%7BMEA%7D
[K_k 1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20K_%7Bk%7D
[20210823143101607.png]: /images/20220829/87f22edc92db4a8cbb8376f390cce95e.png
[20210823153410945.png]: /images/20220829/29a7bb29ed564a0da2fe0bae49ef4906.png
[K_k_ _ _frac_e_EST._color_Red_ k-1_ e_EST._color_Red_ k-1_ _ e_MEA._color_Red_ k_]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfn_jvn%20K_%7Bk%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Be_%7BEST.%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k-1%7D%7D%7D%7B%20e_%7BEST.%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k-1%7D%7D%20&plus;%20e_%7BMEA.%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k%7D%7D%20%7D
[e_EST._color_Red_ k_ _ _1-k_k_e_EST._color_Red_ k-1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20%5Cfn_jvn%20e_%7BEST.%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k%7D%7D%20%3D%20%281-k_%7Bk%7D%29e_%7BEST.%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20k-1%7D%7D
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMjA0NDY0_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220829/ebe822bdf27d42a79ba4375c1e850192.png
[k_1_ _ _frac_5_5_3_0.625]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20k_%7B1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B5%7D%7B5&plus;3%7D%3D0.625
[hat_x_1_ _ 40 _ 0.625 _52 - 40_47.5]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Chat%7Bx_%7B1%7D%7D%20%3D%2040%20&plus;%200.625%20%2852%20-%2040%29%3D47.5
[e_EST.1_ _ _1-0.625_5_1.875]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B120%7D%20%5Cfn_jvn%20e_%7BEST.1%7D%20%3D%20%281-0.625%29*5%3D1.875
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