算法基础之分治

迷南。 2022-09-06 00:23 134阅读 0赞

## 算法基础之分治（C++示例） ##

分治（Divide and Conquer），字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。  
主要思想：当要处理的数据非常多的时候，可以将众多问题先分解成几个小问题，找到求出这几个小问题的方法之后，再找到合适的方法，将子问题解，组合成求整个问题的解法。按照这个思想，如果子问题还是很大的时候，继续将子问题分成更小的子子问题，来进行求解，以此类推，直至可以直接将解求出为止。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，棋盘覆盖问题……

分治排序  
把一个数组分成两个数组，然后在把这两个数组再各自分成两个数组，直到数组有两个数，然后比较这两个数，并且合并，排序。  
源码如下：

#include <iostream>
    using namespace std;
     
    /* * 打印数组 */
    void printArray(int array[],int length)
    { 
    	for (int i = 0; i < length; ++i)
    	{ 
    		cout << array[i] << endl;
    	}
    }
     
    /* * 一个数组从中间分成两个有序数组 * 把这两个有序数组合并成一个有序数组 */
    void merge(int array[],int first,int center,int end)
    { 
     
    	int n1 = center - first + 1;
    	int n2 = end - center;
    	int L[n1+1];
    	int R[n2+1];
    	for(int i = 0; i < n1; i++ )
    	{ 
    		L[i] = array[first+i];     //得到前面一部分数组
    	}
    	//printArray(L,n1);
    	for(int j = 0; j < n2; j++ )
    	{ 
    		R[j] = array[center+j+1]; //得到后面一部分数组
    	}
    	//printArray(R,n2);
    	L[n1] = 1000;    //设置哨兵
    	R[n2] = 1000;	 //设置哨兵
    
    	int k1 = 0;
    	int k2 = 0;
    	for (int k = first; k <= end; ++k)    //把得到的两个数组进行排序合并
    	{ 	
    		if(L[k1] <= R[k2])
    		{ 	
    			array[k] = L[k1];
    			k1 = k1 + 1; 
    		}else{ 
    			array[k] = R[k2];
    			k2 = k2 + 1; 
    		}
    	}
    }
     
    /* * 分治算法 * 把一个数组从中间分成分开 * 然后进行排序 */
    void merge_sort(int array[],int first,int end)  
    { 
    	if(first < end){ 
    		int center = (first + end)/2;     //得到中间数
    		merge_sort(array,first,center);   
    		merge_sort(array,center+1,end);
    		merge(array,first,center,end);
    	}
    }
     
    int main(int argc, char const *argv[])
    { 
    	int array[12] = { 0,6,1,2,3,7,8,9,4,5,11,10};
    
    	merge_sort(array,0,12);
    	printArray(array,12);  // 
    
    	return 0;
    }

棋盘覆盖问题  
• 在一个2k \* 2k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。  
• 显然，特殊方格在棋盘上出现的位置有4k种情形。因而对任何 k >= 0，有4k种特殊棋盘。  
• 图1中的特殊棋盘是k=2时16个特殊棋盘中的一个。

问题描述  
• 在棋盘覆盖问题中，要用图2所示的4种不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个2k \* 2k的棋盘覆盖中，用到的L型骨牌个数恰为（4k\-1）/3。  
基本思想  
• 用分治策略，可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。

1.  当k>0时，将2k \* 2k棋盘分割为4个2k-1 \* 2k-1子棋盘，如图3-a所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。
2.  为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图3-b所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
3.  递归地使用这种分割，直至棋盘简化为1x1棋盘。

分治算法C++源码如下：

#include <iostream> 
    using namespace std;
    
    #define N 4 // 棋盘行（列）数 2^k ,k=2时
    int tile = 1;	// 骨牌编号
    int Board[N][N];// 棋盘
    
    /* tr : 棋盘左上角的行号；（从0开始编号） tc : 棋盘左上角的列号； dr : 特殊方格左上角的行号； dc : 特殊方格左上角的列号； size ：size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k */
    void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
    { 
    	if (size == 1)
    		return;
    
    	int t = tile++;		// L型骨牌编号
    	int s = size / 2;	// 分割棋盘
    
    	// 覆盖左上角子棋盘
    	// 特殊方格在此棋盘中（下面三个if-else同理）
    	if (dr < tr + s && dc < tc + s)
    		ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    	// 此棋盘中无特殊方格（下面三个if-else同理）
    	else
    	{ 
    		Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;	// 用编号为t的骨牌覆盖右下角
    		ChessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);	// 覆盖其余方格
    	}
    
    	// 覆盖右上角子棋盘
    	if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
    		ChessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    	else
    	{ 
    		Board[tr + s - 1][tc + s] = t;		// 用编号为t的骨牌覆盖左下角
    		ChessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);	// 覆盖其余方格
    	}
    
    	// 覆盖左下角子棋盘
    	if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
    		ChessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    	else
    	{ 
    		Board[tr + s][tc + s - 1] = t;		// 用编号为t的骨牌覆盖右上角
    		ChessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);	// 覆盖其余方格
    	}
    
    	//覆盖右下角子棋盘
    	if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    		ChessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    	else
    	{ 
    		Board[tr + s][tc + s] = t;		  // 用编号为t的骨牌覆盖左上角
    		ChessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);	//覆盖其余方格
    	}
    
    }
    
    int main()
    { 
    	cout << "棋盘覆盖问题，k=2即#define N 4 时：\n";
    
    	// 将数组（棋盘）所有元素设为0
    	for (int i = 0; i < N; i++)
    		for (int j = 0; j < N; j++)
    			Board[i][j] = 0;
    
    	// 棋盘覆盖
    	ChessBoard(0, 0, 2, 3, N);
    
    	// 打印棋盘覆盖情况
    	for (int i = 0; i < N; i++)
    	{ 
    		for (int j = 0; j < N; j++)
    		    { 
    		   		cout.width(3);    //打印宽度为3
    		   		cout << Board[i][j] ;
    			}
    		cout << endl;
    	}
    }

运行之结果如下：  
![在这里插入图片描述][015084de086c456290593190e1818047.png]

[015084de086c456290593190e1818047.png]: /images/20220829/307b0671e3d74ce4a9ce1d4a44e44f85.png