Physics Experiment POJ - 3684 题解

骑猪看日落 2022-09-02 11:54 158阅读 0赞

#### 题目链接 ####

> https://vjudge.net/problem/POJ-3684

#### 题目分析 ####

从高度为H的地方开始放球，  
每一秒放一个球，  
球的半径为R，  
不考虑空气阻力，球直接为弹性碰撞，无动量损失。  
g = 10 m / s^2

### 题解 ###

根据题目，当一个球的时候，球自由落体，所需要的时间为 t = 根号下(2\*H/g)可以轻松的求出

球撞击地面之后，由于没有空气阻力，并且做弹性碰撞，球会回到原处，且所花费的时间也为t。

所以当 T / t = k,  
k为偶数的时候，球相当于做(T - k*t)时间内的自由落体运动。  
k为奇数的时候，球相当于从地面弹起，做匀减速直线运动，距离公式为  
H - 0.5 \* g \* pow(k*t + t - T, 2)

不考虑球的半径，考虑球的弹性碰撞，由于球的等质量的，可以考虑成交换速度，这里可以近似看做球没有阻碍，与之前运动相同，也就是公式不变。

如果考虑球的半径，碰撞的交换速度过程相当于每个球没有阻碍的跨越了2*R的距离，要加入这样一个代价，所以要在原运动轨迹的基础之上加入一个2*R。

同理，如果是第三个高度的球，则引入2*2*R的开销，第四个球引入3*2*R的开销，而这个开销是实际模型中无法跨越的距离，因此实际模型要减去这一段开销。

因此要在计算后的结果之上，加上这样一段距离的开销。

#### 如果上面没有理解，就换种方法理解 ####

之前原始模型中，我们把球看做是质点，才将碰撞后速度交换看做了之间跨越，而实际过程中，两球并不是质点，两碰球的质心之间实际上相隔了2\*R的距离。

我们把这一段距离减去，在空间中缩短了这样2\*R的距离，相当于质心之间距离为0，这样才可以看做质点来进行问题求解，而结果上加上模型中减去的值就可以还原真实的模型了。

#### AC代码 ####

#include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    
    using namespace std;
    
    int N, H, R, T;
    const int MAX_N = 100;
    double y[MAX_N];
    double g = 10.0;
    
    double calc(int T)
    {
        
        if (T < 0)
        {
        
            return H;
        }
        double t = sqrt(2 * H / g);
        int k = int(T / t);
        if (k % 2 == 0)
        {
        
            return H - 0.5 * g * pow(T - k * t, 2);
        }
        else
        {
        
            return H - 0.5 * g * pow(k * t + t - T, 2);
        }
    }
    
    void solve()
    {
        
        for (int i = 0; i < N; ++i)
        {
        
            y[i] = calc(T - i);
        }
        sort(y, y + N);
        cout.setf(ios::fixed);
        cout.precision(2);
        for (int i = 0; i < N; ++i)
        {
        
            cout << y[i] + 2 * R * i / 100.0;
            if (i < N - 1)
            {
        
                cout << ' ';
            }
        }
        cout << endl;
    }
    
    int main()
    {
        
        cin.tie(0);
        cout.tie(0);
        ios::sync_with_stdio(false);
        
        int TT;
        cin >> TT;
        while (TT--)
        {
        
            cin >> N;
            cin >> H;
            cin >> R;
            cin >> T;
            
            solve();
        }
    
        return 0;
    }