向量点乘与叉乘

超、凢脫俗 2022-09-01 14:55 171阅读 0赞

**向量（Vector）**  
      在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。  
  
向量加法  
      向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：  
      **V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2)**  
      下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。  
   
**点乘（Dot Product）**  
      如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。  
      点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：  
      **V1( x1, y1)   V2(x2, y2) = x1\*x2 + y1\*y2**  
      注意**点乘结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）**。点乘有什么用呢，我们有：  
     **A . B = |A||B|Cos(θ)**  
      θ是向量A和向量B见的**夹角**。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度， 在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的**夹角**：    **Cos(θ) = AB /(|A||B|)**  
  
      当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下**cos(90) = 0** 和**cos(0) = 1**还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，**为0的话就表示这两个向量垂直**。当**两向量平行时，点积有最大值**  
      另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）  
  
**叉乘（cross product）**  
      相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：  
      **V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2**  
      看起来像个标量，事实上**叉乘的结果是个向量**，**方向在**“右手法则”**z轴上**。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：  
    **A x B = |A||B|Sin(θ)**

然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，**他是有正负的，是指从A到B的角度。**因此 ，**向量的外积不遵守乘法交换率**，因为 **向量a×向量b = -向量b×向量a**， 在物理学中，已知力与力臂求外积，就是向量的外积，即叉乘。

向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断。判断方法如下：

1.右手手掌张开，四指并拢，大拇指垂直于四指指向的方向；

2.伸出右手，四指弯曲，四指与A旋转到B方向一致，那么大拇指指向为C向量的方向。

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另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边所形成的平行四边形的面积。也就是**AB所包围三角形面积的两倍**。在计算面积时，我们要经常用到叉积。

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（译注：三维及以上的叉乘参看维基：http://en.wikipedia.org/wiki/Cross\_product）  
  
**点-线距离**  
      找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。  
    d = (AB x AC)/|AB|   
  
      如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。  
      当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积AB B来判定两线段间**夹角**。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。  
  
源代码参考如下：

//Compute the dot product AB   BC
        int dot(int[] A, int[] B, int[] C)
        {
    	    AB = new int[2];
    	    BC = new int[2];
    	    AB[0] = B[0] - A[0];
    	    AB[1] = B[1] - A[1];
    	    BC[0] = C[0] - B[0];
    	    BC[1] = C[1] - B[1];
    	    int dot = AB[0] * BC[0] + AB[1] * BC[1];
    	    return dot;
        }
    
        //Compute the cross product AB x AC
        int cross(int[] A, int[] B, int[] C)
        {
    	    AB = new int[2];
    	    AC = new int[2];
    	    AB[0] = B[0] - A[0];
    	    AB[1] = B[1] - A[1];
    	    AC[0] = C[0] - A[0];
    	    AC[1] = C[1] - A[1];
    	    int cross = AB[0] * AC[1] - AB[1] * AC[0];
    	    return cross;
        }
    
        //Compute the distance from A to B
        double distance(int[] A, int[] B)
        {
    	    int d1 = A[0] - B[0];
    	    int d2 = A[1] - B[1];
    	    return sqrt(d1 * d1 + d2 * d2);
        }
    
        //Compute the distance from AB to C
        //if isSegment is true, AB is a segment, not a line.
        double linePointDist(int[] A, int[] B, int[] C, boolean isSegment)
        {
    	    double dist = cross(A, B, C) / distance(A, B);
    	    if (isSegment)
    	    {
    		    int dot1 = dot(A, B, C);
    		    if (dot1 > 0)
    		    {
    			    return distance(B, C);
    		    }
    		    
    		    int dot2 = dot(B, A, C);
    
    		    if (dot2 > 0)
    		    {
    			    return distance(A, C);
    		    }
    	    }
    
    	    return abs(dist);
        }

上面的代码看起来似乎是很繁琐。不过我们可以看看在**C++和C\#中**，采用了运算符重载的类point，**用 ‘ \* ’ 代表点乘**，**用** **' ^ ' 代表叉乘**（当然'+''-'还是你所希望的），那么看起来就简单些，代码如下：

//Compute the distance from AB to C
         //if isSegment is true, AB is a segment, not a line.
         double linePointDist(point A, point B, point C, bool isSegment)
         {
             double dist = ((B-A)^(C-A)) / sqrt((B-A)*(B-A));
             if(isSegment)
             {
                 int dot1 = (C-B)*(B-A);
    
                 if(dot1 > 0)
                 { 
                     return sqrt((B-C)*(B-C));
                 }
     
                 int dot2 = (C-A)*(A-B);
    
                 if(dot2 > 0) 
                 {              
                     return sqrt((A-C)*(A-C));
             
                 }
             
                 return abs(dist);
            }
         }

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