526 优美的排列（状态压缩dp）

淩亂°似流年 2022-08-30 12:54 212阅读 0赞

**1. 问题描述：**

假设有从 1 到 N 的 N 个整数，如果从这 N 个数字中成功构造出一个数组，使得数组的第 i 位 (1 <= i <= N) 满足如下两个条件中的一个，我们就称这个数组为一个优美的排列。条件：

*  第 i 位的数字能被 i 整除
 *  i 能被第 i 位上的数字整除

现在给定一个整数 N，请问可以构造多少个优美的排列？

**示例1:**

输入: 2  
输出: 2  
解释:  
第 1 个优美的排列是 \[1, 2\]:  
第 1 个位置（i=1）上的数字是1，1能被 i（i=1）整除  
第 2 个位置（i=2）上的数字是2，2能被 i（i=2）整除  
第 2 个优美的排列是 \[2, 1\]:  
第 1 个位置（i=1）上的数字是2，2能被 i（i=1）整除  
第 2 个位置（i=2）上的数字是1，i（i=2）能被 1 整除  
说明:  
N 是一个正整数，并且不会超过15。  
来源：力扣（LeetCode）  
链接：https://leetcode-cn.com/problems/beautiful-arrangement

**2. 思路分析：**

分析题目可以知道最容易想到的是先求解出N个数字的全排列，然后再判断每一个排列是否满足题目的要求，但是这样暴力求解的时间复杂度是非常高的为O(n \* n!)，如果n最大是15那么15的阶乘是一个非常大的数字肯定会超时。对于N最大是15的数据规模（n在30以内可以考虑使用状态压缩dp）我们其实是可以考虑**状态压缩dp。**我们可以依次考虑每一位上的数字应该填什么，使用n位的二进制来表示状态，二进制的1表示当前这一位对应的数字已经使用，0表示未使用（二进制状态表示之前已经使用过哪些数字了），当前二进制状态中1的数目k表示接下来需要枚举第k + 1位的数字填的是哪些可能的数字，所以我们可以使用三层循环进行模拟，第一层循环枚举的是当前的1~ 1 << n的二进制状态，在循环中我们需要计算出当前二进制状态中1的数目k，表示接下来枚举填的是第 k + 1位的数字，根据当前状态中某些位上的二进制1判断哪些数字是还没有使用的，那么k + 1位就可以填这些之前没有用过的数字（当前的状态肯定是由之前的某些状态一步步到达的），因为求解的是方案所以我们在可以将当前状态的值累加到下一个位的对应的状态上，也即第k + 1位对应的状态，最终dp\[1 << n - 1\]就是我们要求解的答案。

**3. 代码如下：**

class Solution:
        def countArrangement(self, n: int) -> int:
            # 2 ** n个状态, 二进制状态中某位是1表示当前这一位对应的数字是不能够使用的
            dp = [0] * (1 << n)
            dp[0] = 1
            for i in range(1 << n):
                k = 0
                for j in range(n):
                    # 计算当前的二进制状态中1的数目表示我们需要枚举第k + 1位上的数字需要填什么
                    if i >> j & 1 == 1: k += 1
                for j in range(n):
                    # 只有当当前这一位数字j为0的时候说明之前没有使用到这个数字
                    if (i >> j) & 1 == 0:
                        if (k + 1) % (j + 1) == 0 or (j + 1) % (k + 1) == 0:
                            dp[i | (1 << j)] += dp[i]
            return dp[(1 << n) - 1]