开平方的算法(转)

一时失言乱红尘 2022-08-25 08:58 336阅读 0赞

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。  
  
我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。  
先看下面两个算式，

x = 10\*p \+ q  **(**1**)**

公式(1)左右平方之后得：

x^2 = 100\*p^2 \+ 20pq \+ q^2 **(**2**)**

现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。  
我们把公式(2)改写为如下格式：

q = **(**x^2 \- 100\*p^2**)**/**(**20\*p\+q**)** **(**3**)**

这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。  
  
我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方  
  
首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100\*p^2)近似值

3
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
    9
    ---------------
    | 3 34

下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：

3 q
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
    9
    ---------------
    6q| 3 34

我们看到q为5时(60+q\*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：

3 5
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
    9
    ---------------
    65| 3 34
    | 3 25
    ---------------
    9 56

接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。  
  
这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：

q = **(**x^2 \- 4\*p^2**)**/**(**4\*p\+q**)** **(**4**)**

我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：

1 0 1 0
    ---------------
    | 1 10 01 00
    1
    ---------------
    100| 0 10 
    | 0 00 
    ---------------
    | 10 01
    1001| 10 01
    ---------------
    0 00

这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4\*p^2)和(4\*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4\*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。  
  
下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4\*p+1)，通过a>>30取a的最高 2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4\*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。

unsigned short sqrt**(**unsigned long a**)****\{**   
  unsigned long rem = 0;  
  unsigned long root = 0;  
  unsigned long divisor = 0;  
  for**(**int i=0; i<16; i\+\+**)****\{**   
    root <<= 1;  
    rem = **(****(**rem << 2**)** \+ **(**a >> 30**)****)**;  
    a <<= 2;  
    divisor = **(**root<<1**)** \+ 1;  
    if**(**divisor <= rem**)****\{**   
      rem \-= divisor;  
      root\+\+;  
    **\}**  
  **\}**  
  return **(**unsigned short**)****(**root**)**;  
**\}**