NYOJ 278 排队

偏执的太偏执、 2022-08-25 02:02 120阅读 0赞

## 排队 ##

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难度： 1

描述

周末了，软件ACM的队员准备玩玩游戏，娱乐一下，CY想了一个好主意，所有队员站成一个圈，从1开始报数，凡是报出指定数字的人要出列，有人出列后，下个人重新从1开始报数。最后一位“幸存者”要给大家表演个节目。由于队员正在不断的壮大，C小加又想知道他是否需要准备表演，请你设计个程序，帮他确定他是否是“幸存者”。

输入

第一行是n，有n次游戏，第二行是m，x，表示某次游戏有m个人，指定被请出列的数字为x。其中n<100,m<1000

输出

最后幸存的那位的原来的号码

样例输入

2
    10 5
    6 4

样例输出

3
    5

思路：

问题描述：n个人（编号1~n)，从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数。求胜利者的编号。数学解法复杂度：O(n)。  
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。  
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：  
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。  
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:  
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2  
并且从k开始报0。  
现在我们把他们的编号做一下转换：  
k --> 0  
k+1 --> 1  
k+2 --> 2  
...  
...  
k-2 --> n-2  
k-1 --> n-1  
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n  
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：  
令f\[i\]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f\[n\]  
递推公式  
f\[1\]=0;  
f\[i\]=(f\[i-1\]+m)%i; (i>1)  
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f\[i\]的数值，最后结果是f\[n\]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f\[n\]+1  
由于是逐级递推，不需要保存每个f\[i\]，程序也是异常简单：

【AC源代码】

#include <stdio.h>
     #include<stdlib.h>
      int main()
      {
         int m,x,i,s,n;
         scanf("%d",&n);
         while(n--)
         {
            while(~scanf("%d%d",&m,&x))
            {   s=0;
                for (i=2;i<=m;i++) s=(s+x)%i;
               printf ("%d\n", s+1);
            }
         }
         //system("pause");
         return 0;
     }

以上转载自[http://zhidao.baidu.com/link?url=j7B\_CKbMK1PssR2YU\_\_bOOsFUmDZwCXSR3cupEIWGPQmf4GyEBNvA5qglo84NQyo3x9T3dELOm8x1IKdypv6IK][http_zhidao.baidu.com_link_url_j7B_CKbMK1PssR2YU_bOOsFUmDZwCXSR3cupEIWGPQmf4GyEBNvA5qglo84NQyo3x9T3dELOm8x1IKdypv6IK]

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