关于N皇后问题高效试探回溯算法的分析

矫情吗；* 2022-08-23 14:45 188阅读 0赞

from   [http://blog.csdn.net/sharpdew/archive/2006/04/26/678299.aspx][http_blog.csdn.net_sharpdew_archive_2006_04_26_678299.aspx]

// N Queens Problem  
// 试探-回溯算法，递归实现

// sum用来记录皇后放置成功的不同布局数；upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后。  
long sum = 0, upperlim = 1;

// 试探算法从最右边的列开始。  
void test(long row, long ld, long rd) 。  
\{  
   if (row != upperlim)  
   \{  
     // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，  
     // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1。  
     // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后。  
     long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);   
     while (pos) // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯。  
     \{  
        // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0。  
        // 也就是取得可以放皇后的最右边的列。  
        long p = pos & -pos;

// 将pos最右边为1的bit清零。  
        // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，  
        // 程序将来会回溯到这个位置继续试探。  
        pos -= p;

// row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。  
        // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
        // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。  
        // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归  
        // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位  
        // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线  
        // 上产生的限制都被记录下来了。  
        test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);                                
       \}  
   \}  
   else     
   \{  
       // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯。  
       sum++;  
   \}  
\}

int main(int argc, char \*argv\[\])  
\{  
   time\_t tm;  
   int n = 16;

if (argc != 1)  
   n = atoi(argv\[1\]);  
   tm = time(0);

// 因为整型数的限制，最大只能32位，  
   // 如果想处理N大于32的皇后问题，需要  
   // 用bitset数据结构进行存储。  
   if ((n < 1) || (n > 32))                   
   \{  
   printf(" 只能计算1-32之间/n");  
   exit(-1);  
   \}  
   printf("%d 皇后/n", n);

// N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。  
   upperlim = (upperlim << n) - 1;

test(0, 0, 0);  
   printf("共有%ld种排列, 计算时间%d秒 /n", sum, (int) (time(0) - tm));  
\}

上述代码容易看懂，但我觉得核心的是在针对试探－回溯算法所用的数据结构的设计上。  
程序采用了递归，也就是借用了编译系统提供的自动回溯功能。

算法的核心：使用bit数组来代替以前由int或者bool数组来存储当前格子被占用或者说可用信息，从这

可以看出N个皇后对应需要N位表示。  
巧妙之处在于：以前我们需要在一个N\*N正方形的网格中挪动皇后来进行试探回溯，每走一步都要观察

和记录一个格子前后左右对角线上格子的信息；采用bit位进行信息存储的话，就可以只在一行格子也

就是（1行×N列）个格子中进行试探回溯即可，对角线上的限制被化归为列上的限制。  
程序中主要需要下面三个bit数组，每位对应网格的一列，在C中就是取一个整形数的某部分连续位即可

。  
row用来记录当前哪些列上的位置不可用，也就是哪些列被皇后占用，对应为1。  
ld，rd同样也是记录当前哪些列位置不可用，但是不表示被皇后占用，而是表示会被已有皇后在对角线

上吃掉的位置。这三个位数组进行“或”操作后就是表示当前还有哪些位置可以放置新的皇后，对应0

的位置可放新的皇后。如下图所示的8皇后问题求解得第一步：  
row:          \[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[\*\]  
ld:           \[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[\*\]\[ \]  
rd:           \[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]  
\--------------------------------------  
row|ld|rd:    \[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[ \]\[\*\]\[\*\]  
所有下一个位置的试探过程都是通过位操作来实现的，这是借用了C语言的好处，详见代码注释。

关于此算法，如果考虑N×N棋盘的对称性，对于大N来说仍能较大地提升效率！

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