样本统计量与总体的关系，抽样分布的概念性质

一时失言乱红尘 2022-08-23 05:39 318阅读 0赞

本文对抽样分布的概念、无偏差和最小偏差等性质，以及中心极限定理和样本比例的抽样分布进行总结。

## 2 抽样分布基本概念 ##

> **参数（parameter）**：参数是对总体的数值描述，因为是总体，所以值经常是未知的。  
> **样本统计量（sample statistics）**：样本的数值描述，利用样本计算而来。

常见的参数和样本统计量如下表所示。

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <th></th> 
 <th>总体参数</th> 
 <th>样本统计量</th> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>均值</td> 
 <td> μ </td> 
 <td> x¯ </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>中位数</td> 
 <td> η </td> 
 <td> m </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>方差</td> 
 <td> σ2 </td> 
 <td> s2 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>标注差</td> 
 <td> σ </td> 
 <td> s </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>二项比率</td> 
 <td> p </td> 
 <td> p^ </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

> **抽样分布(sampling distribution)**:统计量的概率分布，根据n个测量值的样本计算得到。

## 2 抽样分布的性质 ##

**性质一：无偏性**

> **无偏估计（unbisaed estimate)**：样本统计量的抽样分布均值和要估计的总体参数相等，就认为这个统计量是参数的无偏估计。  
> **有偏估计（biased estimate）**：抽样分布的均值和要顾及的参数不相等，就认为这个统计量是参数的有偏估计。

**性质二：最小方差**

> 如果两组统计量的抽样分部都无偏，我们更加倾向选择标注差最小的，抽样分部的标准差也被成为**统计量的标准误（standard error of the statistic）**。

## 3 样本均值的抽样分布和中心极限定理 ##

### 3.1 *x*¯的抽样分部的性质： ###

> *x*¯的抽样分布的性质：  
> 1.抽样分部的均值等于抽样总体的均值，即*μ**x*¯=*E*(*x*¯)=*μ*。  
> 2.抽样分部的标准差等于：  
> 抽样总体的标注差样本量的平方根，即*σ**x*¯=*σ**n*√。（标准差*σ**x*¯一般被称为**均值的标准误（standard error of the mean）**。  
> 3.正态分布的抽样分布：如果从一个服从正态分布的总体中选取一个有n个观测值的随机样本，那么*x*¯的抽样分布也是一个正态分布。

### 3.2 中心极限定理 ###

从一个均值为 *μ* 、标准差为*σ*的总体中选取一个有*n*个观测值的随机样本。那么当*n*足够大时，*x*¯的抽样分布将近似服从均值*μ**x*¯=*μ* 、标准差*σ**x*¯=*σ*/*n*√的正态分布。并且样本量越大，对*x*¯ 的抽样分布的正太近似越好。

## 4 样本比例的抽样分布 ##

和样本均值是总体均值的良好估计一样，样本比例（记为*p*^），是总体比例*p*的良好估计。和样本均值的抽样分布有着类似的性质。

> *p*^的抽样分布性质：  
> 1. 抽样分布的均值等于二项比例*p*，也就是*E*(*p*^)=*p*。因此，*p*^是*p*的无偏估计。  
> 2. 抽样分布的标准差等于*p*(1−*p*)/*n*−−−−−−−−−√，即*σ**p*^=*p*(1−*p*)/*n*−−−−−−−−−√。  
> 对于大样本，抽样分布近似于正太。